Polynômes & Décomposition en éléments simples

Forme de décomposition en éléments simples - Exercice 1

20 min
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Il est important d'adopter la bonne forme de décomposition en éléments simples.
Soit XX une indéterminée.
Sans calculer les coefficients de la décomposition, donner la forme de la décomposition en éléments simples dans R\mathbb{R} des fractions rationnelles qui vous seront proposées.
Question 1

F(X)=3X−7(X−4)(X+5)F\left(X\right) = \dfrac{3X-7}{\left(X-4\right)\left(X+5\right)}

Correction
FF est sous forme irréductible car 44 et −5-5 les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=aX−4+bX+5F\left(X\right)=\frac{a}{X-4}+\frac{b}{X+5} où (a;b)∈R2\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2

Question 2

F(X)=2X+9(X−1)(X+2)(X−6)F\left(X\right) = \dfrac{2X+9}{\left(X-1\right)\left(X+2\right)\left(X-6\right)}

Correction
FF est sous forme irréductible car 11 ;−2-2 et 66 les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=aX−1+bX+2+cX−6F\left(X\right)=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X+2}+\frac{c}{X-6} où (a;b;c)∈R3\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3
Question 3

F(X)=−3X(X−4)2(X+8)F\left(X\right) = \dfrac{-3X}{\left(X-4\right)^2\left(X+8\right)}

Correction
FF est sous forme irréductible car 44 et −8-8 les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=a2(X−4)2+a1X−4+bX+8F\left(X\right)=\frac{a_2}{\left(X-4\right)^2}+\frac{a_1}{X-4}+\frac{b}{X+8} où (a1;a2;b)∈R3\left(a_1;a_2;b\right) \in \mathbb{R}^3
Question 4

F(X)=5X−6(X2+3)(X+7)F\left(X\right) = \dfrac{5X-6}{\left(X^2+3\right)\left(X+7\right)}

Correction
FF est sous forme irréductible car −7-7 le pôle de FF n'est pas une racine du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=aX+bX2+3+cX+7F\left(X\right)=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{c}{X+7} où (a;b;c)∈R3\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3
Question 5

F(X)=−3X(X−9)(X−4)3(X+1)2(X2+8)F\left(X\right) = \dfrac{-3X}{\left(X-9\right)\left(X-4\right)^3\left(X+1\right)^2\left(X^2+8\right)}

Correction
FF est sous forme irréductible car −1-1 ; 44 et 99 les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=aX−9+b3(X−4)3+b2(X−4)2+b1X−4+c2(X+1)2+c1X+1+dX+eX2+8F\left(X\right)=\frac{a}{X-9}+\frac{b_3}{\left(X-4\right)^3}+\frac{b_2}{\left(X-4\right)^2}+\frac{b_1}{X-4}+\frac{c_2}{\left(X+1\right)^2}+\frac{c_1}{X+1}+\frac{dX+e}{X^2+8} où (a;b1;b2;b3;c1;c2;d;e)∈R8\left(a;b_1;b_2;b_3;c_1;c_2;d;e\right) \in \mathbb{R}^8
Question 6

F(X)=XX3−1F\left(X\right) = \dfrac{X}{X^3-1}

Correction
Ici, il faut être vigilant, car le dénominateur X3−1X^3-1 est de degré 33.
Il est impératif, au dénominateur, d'avoir des polynômes irréductibles autrement dit des polynômes de degré 22 ou de degré 11.
Il faut donc factoriser le polynôme X3−1X^3-1.
11 est une racine évidente de X3−1X^3-1. On peut alors affirmer que X−1X-1 divise X3−1X^3-1.
On doit alors effectuer la division euclidienne de X3−1X^3-1 par X−1X-1. On obtient alors que : X3−1=(X−1)(X2+X+1)X^3-1=\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)
Il en résulte donc que :
F(X)=XX3−1F\left(X\right) = \dfrac{X}{X^3-1} s'écrit également F(X)=X(X−1)(X2+X+1)F\left(X\right) = \dfrac{X}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)} .
FF est sous forme irréductible car 11 le pôle de FF n'est pas une racine du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
Ainsi :
F(X)=aX−1+bX+cX2+X+1F\left(X\right) = \dfrac{a}{X-1}+\dfrac{bX+c}{X^2+X+1} où (a;b;c)∈R3\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3

Question 7

F(X)=X3+2(X−3)(X+2)F\left(X\right) = \dfrac{X^3+2}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}

Correction
Le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur, la partie entière de FF n'est pas nulle.
Il faut donc commencer par faire la division euclidienne de X3+2X^3+2 par (X−3)(X+2)\left(X-3\right)\left(X+2\right) .
On obtient : X3+2=(X+1)(X−3)(X+2)+7X+8{\color{blue}{X^3+2}}= {\color{red}{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)+7X+8}}
On a alors :
F(X)=X3+2(X−3)(X+2)F\left(X\right) = \dfrac{{\color{blue}{X^3+2}}}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}
F(X)=(X+1)(X−3)(X+2)+7X+8(X−3)(X+2)F\left(X\right) = \dfrac{{\color{red}{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)+7X+8}}}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}
F(X)=(X+1)(X−3)(X+2)(X−3)(X+2)+7X+8(X−3)(X+2)F\left(X\right) = \dfrac{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}+\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}
F(X)=X+1+7X+8(X−3)(X+2)F\left(X\right) = X+1+\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)} . La partie entière est alors égale à X+1X+1 .
7X+8(X−3)(X+2)\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)} est sous forme irréductible car 33 et −2-2 les pôles de 7X+8(X−3)(X+2)\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)} ne sont pas racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de 7X+8(X−3)(X+2)\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)} est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=X+1+aX−3+bX+2F\left(X\right) = X+1+\dfrac{a}{X-3}+\dfrac{b}{X+2} où (a;b)∈R2\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2
Question 8

F(X)=X4+X+3X2+1F\left(X\right) = \dfrac{X^4+X+3}{X^2+1}

Correction
Le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur, la partie entière de FF n'est pas nulle.
Il faut donc commencer par faire la division euclidienne de X4+3X^4+3 par X2+1X^2+1 .
On obtient : X4+3=(X2+1)(X2−1)+X+4{\color{blue}{X^4+3}}= {\color{red}{\left(X^2+1\right)\left(X^2-1\right)+X+4}}
On a alors :
F(X)=X4+3X2+1F\left(X\right) = \dfrac{{\color{blue}{X^4+3}}}{X^2+1}
F(X)=(X2+1)(X2−1)+X+4X2+1F\left(X\right) = \dfrac{{\color{red}{\left(X^2+1\right)\left(X^2-1\right)+X+4}}}{X^2+1}
F(X)=(X2+1)(X2−1)X2+1+X+4X2+1F\left(X\right) = \dfrac{\left(X^2+1\right)\left(X^2-1\right)}{X^2+1}+\dfrac{X+4}{X^2+1}
F(X)=X2−1+X+4X2+1F\left(X\right) = X^2-1+\dfrac{X+4}{X^2+1} . La partie entière est alors égale à X2−1X^2-1 .
X+4X2+1\dfrac{X+4}{X^2+1} est sous forme irréductible car le dénominateur n'admet pas de racines réelles. Il n'y a donc pas de pôles réelles pour X+4X2+1\dfrac{X+4}{X^2+1} .
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de X+4X2+1\dfrac{X+4}{X^2+1} est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF dans R\mathbb{R} étant unique, on a :
F(X)=X2−1+aX+bX2+1F\left(X\right) = X^2-1+\dfrac{aX+b}{X^2+1} où (a;b)∈R2\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2
et dans notre situation nous avons alors
F(X)=X2−1+X+4X2+1F\left(X\right) = X^2-1+\dfrac{X+4}{X^2+1}
que l'on a obtenu précédemment.