Polynômes & Décomposition en éléments simples

Factorisation de polynômes dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] - Exercice 1

20 min
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Question 1

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X3−X2+2X−2P\left(X\right)=X^3-X^2+2X-2 .

Correction
  • Les polynômes irréductibles de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] sont les polynômes du premier degré et les polynômes de deuxième degré de la forme aX2+bX+caX^2+bX+c dont Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2-4ac<0 .
Nous allons commencer par chercher une racine évidente de PP .
En pratique, on observe que −2-2 ; −1-1 ; 00 ; 11, et 22 peuvent être des racines évidentes pour le polynôme PP.
On vérifie facilement que P(1)=0P\left(1\right)=0 donc 11 est bien une racine de PP.
  • Soit PP un polynôme de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et a∈Ka\in \mathbb{K}.
    Si aa est une racine de PP alors (X−a)∣P\left(X-a\right)|P
Il en résulte donc que (X−1)∣P\left(X-1\right)|P .
En effectuant la division euclidienne de PP par (X−1)\left(X-1\right), on obtient : X3−X2+2X−2=(X−1)(X2+2)X^3-X^2+2X-2=\left(X-1\right)\left(X^2+2\right).
Ainsi : P(X)=(X−1)(X2+2)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2+2\right)
X−1X-1 est un polynôme irréductible de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .
On vérifie que le polynôme X2+2X^2+2 admet un discriminant Δ<0\Delta <0 et de ce fait X2+2X^2+2 est un polynôme irréductible de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .
Il en résulte donc que la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X3−X2+2X−2P\left(X\right)=X^3-X^2+2X-2 est alors :
P(X)=(X−1)(X2+2)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2+2\right)

Question 2

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4+6X3+8X2−6X−9P\left(X\right)=X^4+6X^3+8X^2-6X-9 en sachant que −3-3 est une racine de PP.

Correction
Soit P(X)=X4+6X3+8X2−6X−9P\left(X\right)=X^4+6X^3+8X^2-6X-9 .
D'après les hypothèses, −3-3 est une racine de PP.
On vérifie facilement que :
P(−3)=(−3)4+6×(−3)3+8×(−3)2−6×(−3)−9⇔P(−3)=0P\left(-3\right)=\left(-3\right)^4+6\times\left(-3\right)^3+8\times\left(-3\right)^2-6\times\left(-3\right)-9 \Leftrightarrow P\left(-3\right)=0
Vérifions si −3-3 n'est pas une racine multiple.
  • On adoptera la notation K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, et l’on précisera si besoin est.
    Soit PP un polynôme non nul de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et aa un élément de K\mathbb{K} .
    aa est un racine de PP d’ordre de multiplicité (n≥1)\left(n \ge 1\right) si et seulement si : P(a)=P′(a)=P′′(a)=⋯=P(n−1)(a)=0P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0 et P(n)(a)≠0P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0
Calculons P′{\color{blue}{P'}} .
P′(X)=4X3+18X2+16X−6P'\left(X\right)=4X^3+18X^2+16X-6
P′(−3)=4×(−3)3+18×(−3)2+16×(−3)−6⟺P'\left(-3\right)=4{\times \left(-3\right)}^3+18{\times \left(-3\right)}^2+16\times \left(-3\right)-6\Longleftrightarrow
P′(−3)=0P'\left(-3\right)=0

Calculons P′′{\color{blue}{P''}} .
P′′(X)=12X2+36X+16P''\left(X\right)=12X^2+36X+16
P′′(−3)=12×(−3)2+36×(−3)+16⟺P''\left(-3\right)=12{\times \left(-3\right)}^2+36\times \left(-3\right)+16\Longleftrightarrow
P′′(−3)=16≠0P''\left(-3\right)=16\neq 0

Ainsi (−3)\left(-3\right) est une racine de PP d’ordre 2{\color{red}{2}}.
  • Soit PP un polynôme de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et a∈Ka\in \mathbb{K}. Soit nn un entier naturel non nul.
    Si aa est une racine de PP alors (X−a)∣P\left(X-a\right)|P
Il en résulte donc que (X−(−3))2∣P\left(X-\left(-3\right)\right)^2|P .
En effectuant la division euclidienne de PP par (X+3)2\left(X+3\right)^2, on obtient : X4+6X3+8X2−6X−9=(X+3)2(X2−1)X^4+6X^3+8X^2-6X-9=\left(X+3\right)^2\left(X^2-1\right).
Ainsi : P(X)=(X+3)2(X2−1)P\left(X\right)=\left(X+3\right)^2\left(X^2-1\right)
Or X2−1=(X−1)(X+1)X^2-1=\left(X-1\right)\left(X+1\right)
Il en résulte donc que la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+6X3+8X2−6X−9P\left(X\right)=X^4+6X^3+8X^2-6X-9 est alors :
P(X)=(X+3)2(X−1)(X+1)P\left(X\right)=\left(X+3\right)^2\left(X-1\right)\left(X+1\right)

Question 3

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4−1P\left(X\right)=X^4-1 .

Correction
P(X)=X4−1P\left(X\right)=X^4-1 équivaut successivement à :
P(X)=(X2)2−12P\left(X\right)={\left(X^2\right)}^2-1^2
P(X)=(X2−1)(X2+1)P\left(X\right)=\left(X^2-1\right)\left(X^2+1\right)
P(X)=(X2−12)(X2+1)P\left(X\right)=\left(X^2-1^2\right)\left(X^2+1\right)
P(X)=(X−1)(X+1)(X2+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2+1\right)
On vérifie que le polynôme X2+1X^2+1 admet un discriminant Δ<0\Delta <0 et de ce fait X2+1X^2+1 est un polynôme irréductible de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .
Il en résulte donc que la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4−1P\left(X\right)=X^4-1 est alors :
P(X)=(X−1)(X+1)(X2+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2+1\right)
Question 4

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4+X2+1P\left(X\right)=X^4+X^2+1 .

Correction
P(X)=X4+X2+1P\left(X\right)=X^4+X^2+1 équivaut successivement à :
P(X)=X4+2X2+1−X2P\left(X\right)=X^4+2X^2+1-X^2
P(X)=(X2+1)2−X2P\left(X\right)={\left(X^2+1\right)}^2-X^2
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2−b2=(a−b)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
P(X)=(X2+1−X)(X2+1+X)P\left(X\right)=\left(X^2+1-X\right)\left(X^2+1+X\right)
Finalement :
la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+X2+1P\left(X\right)=X^4+X^2+1 est alors :
P(X)=(X2−X+1)(X2+X+1)P\left(X\right)=\left(X^2-X+1\right)\left(X^2+X+1\right)

En effet, on vérifie facilement que les polynômes X2−X+1X^2-X+1 et X2+X+1X^2+X+1 n'ont pas de racines réelles car Δ<0\Delta <0 .
Question 5

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4+1P\left(X\right)=X^4+1 .

Correction
Nous allons chercher les racines de PP, autrement dit, nous allons chercher les racines quatrièmes de −1-1.
Nous allons donc factoriser le polynôme dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] puis ensuite dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right].
On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation X4=−1X^4 = -1 ou encore X4=eiπX^4 = e^{i\pi }
  • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
    Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
  • Les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}\left[X\right] sont les polynômes du premier degré .

Les racines quatrièmes de −1-1 sont alors :
Xk=ei(π+2kπ4)X_k=e^{i\left(\frac{\pi+2k\pi }{4}\right)} où k∈[[0;4−1]]k \in\left[\left[0;4-1\right]\right]

La décomposition en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+1P\left(X\right)=X^4+1 est :
P(X)=∏k=03(X−Xk)P\left(X\right)=\prod_{k=0}^3 \left(X-X_k\right)

Nous pouvons également l'écrire en faisant apparaitre les 44 produits de facteurs de degré 11.
Les 44 racines de PP sont alors :
X0=ei(π+2×0×π4)⇔X0=eiπ4X_0=e^{i\left(\frac{\pi+2\times0 \times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow X_0=e^{i\frac{\pi }{4}}
X1=ei(π+2×1×π4)⇔X1=ei3π4X_1=e^{i\left(\frac{\pi+2\times1 \times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow X_1=e^{i\frac{3\pi }{4}}
X2=ei(π+2×2×π4)⇔X2=ei5π4⇔X2=e−i3π4X_2=e^{i\left(\frac{\pi+2\times2 \times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow X_2=e^{i\frac{5\pi }{4}}\Leftrightarrow X_2=e^{-i\frac{3\pi }{4}}
X3=ei(π+2×3×π4)⇔X3=ei7π4⇔X3=e−iπ4X_3=e^{i\left(\frac{\pi+2\times3 \times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow X_3=e^{i\frac{7\pi }{4}}\Leftrightarrow X_3=e^{-i\frac{\pi }{4}}
Il en résulte donc que :
P(X)=(X−X0)(X−X1)(X−X2)(X−X3)P\left(X\right)=\left(X-X_0\right)\left(X-X_1\right)\left(X-X_2\right)\left(X-X_3\right)
Finalement, la factorisation de PP dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] est alors :
P(X)=(X−eiπ4)(X−e−iπ4)(X−ei3π4)(X−e−i3π4)P\left(X\right)=\left(X-e^{i\frac{\pi }{4}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{4}}\right)\left(X-e^{i\frac{3\pi }{4}}\right)\left(X-e^{-i\frac{3\pi }{4}}\right)
  • Soit P∈R[X]P\in \mathbb{R}\left[X\right] un polynôme. Si z∈Cz \in \mathbb{C} est une racine de PP de multiplicité mm, alors z‾\overline{z} est aussi une racine de PP de multiplicité mm.
Nous allons maintenant pouvoir factoriser PP dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right]. Il vient alors que :
P(X)=(X−eiπ4)(X−e−iπ4)(X−ei3π4)(X−e−i3π4)P\left(X\right)=\pink{\left(X-e^{i\frac{\pi }{4}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{4}}\right)}\green{\left(X-e^{i\frac{3\pi }{4}}\right)\left(X-e^{-i\frac{3\pi }{4}}\right)}
P(X)=(X2−Xe−iπ4−Xeiπ4+eiπ4×e−iπ4)(X2−Xe−i3π4−Xei3π4+ei3π4×e−i3π4)P\left(X\right)=\pink{\left(X^2-Xe^{-i\frac{\pi }{4}}-Xe^{i\frac{\pi }{4}}+e^{i\frac{\pi }{4}}\times e^{-i\frac{\pi }{4}}\right)}\green{\left(X^2-Xe^{-i\frac{3\pi }{4}}-Xe^{i\frac{3\pi }{4}}+e^{i\frac{3\pi }{4}}\times e^{-i\frac{3\pi }{4}}\right)}
P(X)=(X2−Xe−iπ4−Xeiπ4+ei(π4−π4))(X2−Xe−i3π4−Xei3π4+ei(3π4−3π4))P\left(X\right)=\left(X^2-Xe^{-i\frac{\pi }{4}}-Xe^{i\frac{\pi }{4}}+e^{i\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{3\pi }{4}}-Xe^{i\frac{3\pi }{4}}+e^{i\left(\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)}\right)
P(X)=(X2−X(e−iπ4+eiπ4)+1)(X2−X(e−i3π4+ei3π4)+1)P\left(X\right)=\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{\pi }{4}}+e^{i\frac{\pi }{4}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{3\pi }{4}}+e^{i\frac{3\pi }{4}}\right)+1\right)
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • P(X)=(X2−2Xcos(π4) +1)(X2−2Xcos(3π4) +1)P\left(X\right)=\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{4}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{3\pi }{4}\right)\ }+1\right)
    P(X)=(X2−2X×22+1)(X2−2X×(−22)+1)P\left(X\right)=\left(X^2-2X\times \frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\left(X^2-2X\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+1\right)
    Finalement :
    la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+1P\left(X\right)=X^4+1 est alors :
    P(X)=(X2−2X+1)(X2+2X+1)P\left(X\right)=\left(X^2-\sqrt{2}X+1\right)\left(X^2+\sqrt{2}X+1\right)