Polynômes & Décomposition en éléments simples

Factorisation de polynômes dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] - Exercice 2

15 min
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Question 1

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4+X2+1P\left(X\right)=X^4+X^2+1 .

Correction
Il nous faut résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation : X4+X2+1=0X^4+X^2+1=0.
Il s'agit d'une équation bicarrée. On pose alors z=X2z=X^2.
Il vient alors que : z2+z+1=0z^2+z+1=0
On vérifie facilement que les solutions de cette équation sont
z1=−1+i32z_{1} =\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}
et
z2=−1−i32z_{2} =\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}

Or : z=X2z=X^2.
D'une part :
X2=ei2π3⟺X2=(eiπ3)2⟺(X1=eiπ3 ou X2=−eiπ3)X^2=e^{i\frac{2\pi }{3}}\Longleftrightarrow {X^2=\left(e^{i\frac{\pi }{3}}\right)}^2\Longleftrightarrow \left(X_1=e^{i\frac{\pi }{3}} \text{ ou } X_2=-e^{i\frac{\pi }{3}}\right) . En effet,
D'une part :
X2=e−i2π3⟺X2=(e−iπ3)2⟺(X3=e−iπ3 ou X4=−e−iπ3)X^2=e^{-i\frac{2\pi }{3}}\Longleftrightarrow {X^2=\left(e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)}^2\Longleftrightarrow \left(X_3=e^{-i\frac{\pi }{3}} \text{ ou } X_4=-e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)
La décomposition en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+X2+1P\left(X\right)=X^4+X^2+1 est :
P(X)=(X−eiπ3)(X+eiπ3)(X−e−iπ3)(X+e−iπ3)P\left(X\right)=\left(X-e^{i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X+e^{i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X+e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)
Question 2

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] le polynôme P(X)=X4+X3+5X2+4X+4P\left(X\right)=X^4+X^3+5X^2+4X+4. On remarquera qu'il y a au moins une racine imaginaire pure évidente.

Correction
On vérifie facilement que 2i2i est bien une racine de PP.
En effet : P(2i)=(2i)4+(2i)3+5(2i)2+4(2i)+4⟺P(2i)=0P\left(2i\right)=\left(2i\right)^4+\left(2i\right)^3+5\left(2i\right)^2+4\left(2i\right)+4\Longleftrightarrow P\left(2i\right)=0.
  • Soit P∈R[X]P\in \mathbb{R}\left[X\right] un polynôme. Si z∈Cz \in \mathbb{C} est une racine de PP de multiplicité mm, alors z‾\overline{z} est aussi une racine de PP de multiplicité mm.
2i2i étant une racine et PP est un polynôme à coefficients réels dans ce cas −2i-2i est également une racine de PP.
il en résulte donc que (X−2i)(X+2i)\left(X-2i\right)\left(X+2i\right) divise PP. Autrement dit, (X2+4)\left(X^2+4\right) divise PP .
En effectuant la division euclidienne de PP par (X2+4)\left(X^2+4\right), on obtient :
X4+X3+5X2+4X+4=(X2+4)(X2+X+1)X^4+X^3+5X^2+4X+4=\left(X^2+4\right)\left(X^2+X+1\right)
Les racines du polynôme X2+X+1X^2+X+1 sont −1−i32\frac{-1-i\sqrt{3} }{2} et −1+i32\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}.
La décomposition en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] du polynôme P(X)=X4+X3+5X2+4X+4P\left(X\right)=X^4+X^3+5X^2+4X+4 est alors :
X4+X3+5X2+4X+4=(X−2i)(X+2i)(X−(−1+i32))(X−(−1−i32))X^4+X^3+5X^2+4X+4=\left(X-2i\right)\left(X+2i\right)\left(X-\left(\frac{-1+i\sqrt{3} }{2}\right)\right)\left(X-\left(\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}\right)\right)

Ou encore :
X4+X3+5X2+4X+4=(X−2i)(X+2i)(X+1−i32)(X+1+i32)X^4+X^3+5X^2+4X+4=\left(X-2i\right)\left(X+2i\right)\left(X+\frac{1-i\sqrt{3} }{2}\right)\left(X+\frac{1+i\sqrt{3} }{2}\right)