Polynômes & Décomposition en éléments simples

Factorisation de polynômes dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] - Exercice 1

20 min
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Question 1

Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] le polynôme P(X)=X6−1P\left(X\right)=X^6-1 .

Correction
  • Les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}\left[X\right] sont les polynômes du premier degré .
A l'aide des racines nièmes, nous allons pouvoir déterminer les racines de PP.
P(X)=0⇔X6=1P\left(X\right)=0\Leftrightarrow X^6=1
Nous cherchons les racines sixièmes de l'unité.
  • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
    Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
X6=1X^6=1 équivaut successivement à :
X6=ei0X^6=e^{i0}
Les racines sixièmes de l'unité sont alors :
zk=ei(2kπ6)z_k=e^{i\left(\frac{2k\pi }{6}\right)} où k∈[[0;6−1]]k \in\left[\left[0;6-1\right]\right]
Ainsi :
zk=ei(kπ3)z_k=e^{i\left(\frac{k\pi }{3}\right)} où k∈[[0;5]]k \in\left[\left[0;5\right]\right]

La décomposition en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] du polynôme P(X)=X6−1P\left(X\right)=X^6-1 est :
P(X)=∏k=05(X−zk)P\left(X\right)=\prod_{k=0}^5 \left(X-z_k\right)

Nous pouvons également l'écrire en faisant apparaitre les 66 produits de facteurs de degré 11.
Les 66 racines de PP sont alors :
z0=ei(0×π3)⇔z0=1z_0=e^{i\left(\frac{0 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_0=1
z1=ei(1×π3)⇔z1=eiπ3z_1=e^{i\left(\frac{1 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_1=e^{i\frac{\pi }{3}}
z2=ei(2×π3)⇔z2=ei2π3z_2=e^{i\left(\frac{2 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_2=e^{i\frac{2\pi }{3}}
z3=ei(3×π3)⇔z3=eiπ=−1z_3=e^{i\left(\frac{3 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_3=e^{i\pi}=-1
z4=ei(4×π3)⇔z4=z2‾z_4=e^{i\left(\frac{4 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_4=\overline{z_2} .     \;\; En effet, z4=ei(4×π3)=ei(4π3−2π)=z2‾z_4=e^{i\left(\frac{4 \times\pi }{3}\right)}=e^{i\left(\frac{4 \pi }{3}-2\pi\right)}=\overline{z_2}
z5=ei(5×π3)⇔z5=z1‾z_5=e^{i\left(\frac{5 \times\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow z_5=\overline{z_1} .     \;\; En effet, z5=ei(5×π3)=ei(5π3−2π)=z1‾z_5=e^{i\left(\frac{5 \times\pi }{3}\right)}=e^{i\left(\frac{5 \pi }{3}-2\pi\right)}=\overline{z_1}
Il en résulte donc que :
P(X)=(X−z0)(X−z1)(X−z2)(X−z3)(X−z4)(X−z5)P\left(X\right)=\left(X-z_0\right)\left(X-z_1\right)\left(X-z_2\right)\left(X-z_3\right)\left(X-z_4\right)\left(X-z_5\right)
Finalement :
P(X)=(X−1)(X−eiπ3)(X−ei2π3)(X+1)(X−e−i2π3)(X−e−iπ3)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X-e^{i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X-e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X+1\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)
  • Soit P∈R[X]P\in \mathbb{R}\left[X\right] un polynôme. Si z∈Cz \in \mathbb{C} est une racine de PP de multiplicité mm, alors z‾\overline{z} est aussi une racine de PP de multiplicité mm.
Question 2

En déduire une factorisation de PP dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .

Correction
D'après la question précédente, nous avons montré que :
P(X)=(X−1)(X−eiπ3)(X−ei2π3)(X+1)(X−e−i2π3)(X−e−iπ3)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X-e^{i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X-e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X+1\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)
Nous allons développer l'expression du polynôme PP en multipliant les facteurs des racines complexes conjuguées entre elles.
Il vient alors que :
P(X)=(X−1)(X+1)(X−eiπ3)(X−e−iπ3)(X−ei2π3)(X−e−i2π3)P\left(X\right)=\red{\left(X-1\right)\left(X+1\right)}\pink{\left(X-e^{i\frac{\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)}\green{\left(X-e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)}
P(X)=(X−1)(X+1)(X2−Xe−iπ3−Xeiπ3+eiπ3×e−iπ3)(X2−Xe−i2π3−Xei2π3+ei2π3×e−i2π3)P\left(X\right)=\red{\left(X-1\right)\left(X+1\right)}\pink{\left(X^2-Xe^{-i\frac{\pi }{3}}-Xe^{i\frac{\pi }{3}}+e^{i\frac{\pi }{3}}\times e^{-i\frac{\pi }{3}}\right)}\green{\left(X^2-Xe^{-i\frac{2\pi }{3}}-Xe^{i\frac{2\pi }{3}}+e^{i\frac{2\pi }{3}}\times e^{-i\frac{2\pi }{3}}\right)}
P(X)=(X−1)(X+1)(X2−Xe−iπ3−Xeiπ3+ei(π3−π3))(X2−Xe−i2π3−Xei2π3+ei(2π3−2π3))P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{\pi }{3}}-Xe^{i\frac{\pi }{3}}+e^{i\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{2\pi }{3}}-Xe^{i\frac{2\pi }{3}}+e^{i\left(\frac{2\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}\right)}\right)
P(X)=(X−1)(X+1)(X2−X(e−iπ3+eiπ3)+1)(X2−X(e−i2π3+ei2π3)+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{\pi }{3}}+e^{i\frac{\pi }{3}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{2\pi }{3}}+e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)+1\right)
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • P(X)=(X−1)(X+1)(X2−2Xcos(π3) +1)(X2−2Xcos(2π3) +1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{3}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi }{3}\right)\ }+1\right)
    P(X)=(X−1)(X+1)(X2−2X×12+1)(X2−2X×(−12)+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2-2X\times \frac{1}{2}+1\right)\left(X^2-2X\times \left(-\frac{1}{2}\right)+1\right)
    Finalement :
    la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X6−1P\left(X\right)=X^6-1 est alors :
    P(X)=(X−1)(X+1)(X2−X+1)(X2+X+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\left(X^2-X+1\right)\left(X^2+X+1\right)
    Question 3

    Décomposer en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] le polynôme Q(X)=X5−1Q\left(X\right)=X^5-1 .

    Correction
    • Les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}\left[X\right] sont les polynômes du premier degré .
    A l'aide des racines nièmes, nous allons pouvoir déterminer les racines de PP.
    P(X)=0⇔X5=1P\left(X\right)=0\Leftrightarrow X^5=1
    Nous cherchons les racines cinquièmes de l'unité.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    X5=1X^5=1 équivaut successivement à :
    X5=ei0X^5=e^{i0}
    Les racines cinquièmes de l'unité sont alors :
    zk=ei(2kπ5)z_k=e^{i\left(\frac{2k\pi }{5}\right)} où k∈[[0;5−1]]k \in\left[\left[0;5-1\right]\right]

    La décomposition en produits de polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}\left[X\right] du polynôme P(X)=X5−1P\left(X\right)=X^5-1 est :
    P(X)=∏k=04(X−zk)P\left(X\right)=\prod_{k=0}^4 \left(X-z_k\right)

    Nous pouvons également l'écrire en faisant apparaitre les 55 produits de facteurs de degré 11.
    Les 55 racines de PP sont alors :
    z0=ei(2×0×π5)⇔z0=1z_0=e^{i\left(\frac{2\times0 \times\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow z_0=1
    z1=ei(2×1×π5)⇔z1=ei2π5z_1=e^{i\left(\frac{2\times1 \times\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow z_1=e^{i\frac{2\pi }{5}}
    z2=ei(2×2×π5)⇔z2=ei4π5z_2=e^{i\left(\frac{2\times2 \times\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow z_2=e^{i\frac{4\pi }{5}}
    z3=ei(2×3×π5)⇔z3=ei6π5=z2‾z_3=e^{i\left(\frac{2\times3 \times\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow z_3=e^{i\frac{6\pi }{5}}=\overline{z_2} .     \;\; En effet, z3=ei6×π5=ei(6π5−2π)=z2‾z_3=e^{i\frac{6 \times\pi }{5}}=e^{i\left(\frac{6 \pi }{5}-2\pi\right)}=\overline{z_2}
    z4=ei(2×4×π5)⇔z4=ei8π5=z1‾z_4=e^{i\left(\frac{2\times4 \times\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow z_4=e^{i\frac{8\pi }{5}}=\overline{z_1} .     \;\; En effet, z4=ei8×π5=ei(8π5−2π)=z1‾z_4=e^{i\frac{8 \times\pi }{5}}=e^{i\left(\frac{8 \pi }{5}-2\pi\right)}=\overline{z_1}
    Il en résulte donc que :
    P(X)=(X−z0)(X−z1)(X−z2)(X−z3)(X−z4)P\left(X\right)=\left(X-z_0\right)\left(X-z_1\right)\left(X-z_2\right)\left(X-z_3\right)\left(X-z_4\right)
    Finalement :
    P(X)=(X−1)(X−ei2π5)(X−ei4π5)(X−e−i2π5)(X−e−i4π5)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X-e^{i\frac{2\pi }{5}}\right)\left(X-e^{i\frac{4\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{4\pi }{5}}\right)
    • Soit P∈R[X]P\in \mathbb{R}\left[X\right] un polynôme. Si z∈Cz \in \mathbb{C} est une racine de PP de multiplicité mm, alors z‾\overline{z} est aussi une racine de PP de multiplicité mm.
    Question 4

    En déduire une factorisation de QQ dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .

    Correction
    D'après la question précédente, nous avons montré que :
    P(X)=(X−1)(X−ei2π5)(X−ei4π5)(X−e−i2π5)(X−e−i4π5)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X-e^{i\frac{2\pi }{5}}\right)\left(X-e^{i\frac{4\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{4\pi }{5}}\right)
    Nous allons développer l'expression du polynôme PP en multipliant les facteurs des racines complexes conjuguées entre elles.
    Il vient alors que :
    P(X)=(X−1)(X−ei2π5)(X−e−i2π5)(X−ei4π5)(X−e−i4π5)P\left(X\right)=\red{\left(X-1\right)}\pink{\left(X-e^{i\frac{2\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{2\pi }{5}}\right)}\green{\left(X-e^{i\frac{4\pi }{5}}\right)\left(X-e^{-i\frac{4\pi }{5}}\right)}
    P(X)=(X−1)(X2−Xe−i2π5−Xei2π5+ei2π5×e−i2π5)(X2−Xe−i4π5−Xei4π5+ei4π5×e−i4π5)P\left(X\right)=\red{\left(X-1\right)}\pink{\left(X^2-Xe^{-i\frac{2\pi }{5}}-Xe^{i\frac{2\pi }{5}}+e^{i\frac{2\pi }{5}}\times e^{-i\frac{2\pi }{5}}\right)}\green{\left(X^2-Xe^{-i\frac{4\pi }{5}}-Xe^{i\frac{4\pi }{5}}+e^{i\frac{4\pi }{5}}\times e^{-i\frac{4\pi }{5}}\right)}
    P(X)=(X−1)(X2−Xe−i2π5−Xei2π5+ei(2π5−2π5))(X2−Xe−i4π5−Xei4π5+ei(4π5−4π5))P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{2\pi }{5}}-Xe^{i\frac{2\pi }{5}}+e^{i\left(\frac{2\pi }{5}-\frac{2\pi }{5}\right)}\right)\left(X^2-Xe^{-i\frac{4\pi }{5}}-Xe^{i\frac{4\pi }{5}}+e^{i\left(\frac{4\pi }{5}-\frac{4\pi }{5}\right)}\right)
    P(X)=(X−1)(X2−X(e−i2π5+ei2π5)+1)(X2−X(e−i4π5+ei4π5)+1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{2\pi }{5}}+e^{i\frac{2\pi }{5}}\right)+1\right)\left(X^2-X\left(e^{-i\frac{4\pi }{5}}+e^{i\frac{4\pi }{5}}\right)+1\right)
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • P(X)=(X−1)(X2−2Xcos(π5) +1)(X2−2Xcos(4π5) +1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{5}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{5}\right)\ }+1\right) . On ne peut pas donner en l'état les valeurs de cos(4π5) {\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{5}\right)\ } et sin(4π5) {\mathrm{sin} \left(\frac{4\pi }{5}\right)\ } .
    Finalement :
    la décomposition en produits de polynômes irréductibles dans R[X]\mathbb{R}\left[X\right] du polynôme P(X)=X5−1P\left(X\right)=X^5-1 est alors :
    P(X)=(X−1)(X2−2Xcos(π5) +1)(X2−2Xcos(4π5) +1)P\left(X\right)=\left(X-1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{5}\right)\ }+1\right)\left(X^2-2X{\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{5}\right)\ }+1\right)