Polynômes & Décomposition en éléments simples

Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine - Exercice 1

10 min
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Question 1

On considère le polynôme P(X)=X4+5X3+14X2+17X+7P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7 .
Montrer que −1-1 est racine de PP et donner son ordre de multiplicité.

Correction
  • On adoptera la notation K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, et l’on précisera si besoin est.
    Soit PP un polynôme non nul de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et aa un élément de K\mathbb{K} .
    aa est un racine de PP d’ordre de multiplicité (n≥1)\left(n \ge 1\right) si et seulement si : P(a)=P′(a)=P′′(a)=⋯=P(n−1)(a)=0P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0 et P(n)(a)≠0P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0
Soit P(X)=X4+5X3+14X2+17X+7P\left(X\right)=X^4+5X^3+14X^2+17X+7
On a : P(−1)=(−1)4+5×(−1)3+14×(−1)2+17×(−1)+7⟺P\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4+5{\times \left(-1\right)}^3+14\times {\left(-1\right)}^2+17\times \left(-1\right)+7\Longleftrightarrow
P(−1)=0P\left(-1\right)=0

Donc −1-1 est bien une racine de PP .
Calculons P′{\color{blue}{P'}} .
P′(X)=4X3+15X2+28X+17P'\left(X\right)=4X^3+15X^2+28X+17
P′(−1)=4×(−1)3+15×(−1)2+28×(−1)+17⟺P'\left(-1\right)=4{\times \left(-1\right)}^3+15{\times \left(-1\right)}^2+28\times \left(-1\right)+17\Longleftrightarrow
P′(−1)=0P'\left(-1\right)=0

Calculons P′′{\color{blue}{P''}} .
P′′(X)=12X2+30X+28P''\left(X\right)=12X^2+30X+28
P′′(−1)=12×(−1)2+30×(−1)+28⟺P''\left(-1\right)=12{\times \left(-1\right)}^2+30\times \left(-1\right)+28\Longleftrightarrow
P′′(−1)=10≠0P''\left(-1\right)=10\neq 0

Ainsi (−1)\left(-1\right) est une racine de PP d’ordre 2{\color{red}{2}}.
Question 2

On considère le polynôme P(X)=X5−16X3+16X2+48X−64P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64 .
Montrer que 22 est racine de PP et donner son ordre de multiplicité.

Correction
  • On adoptera la notation K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, et l’on précisera si besoin est.
    Soit PP un polynôme non nul de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et aa un élément de K\mathbb{K} .
    aa est un racine de PP d’ordre de multiplicité (n≥1)\left(n \ge 1\right) si et seulement si : P(a)=P′(a)=P′′(a)=⋯=P(n−1)(a)=0P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0 et P(n)(a)≠0P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0
Soit P(X)=X5−16X3+16X2+48X−64P\left(X\right)=X^5-16X^3+16X^2+48X-64 .
On a : P(2)=25−16×23+16×22+48×2−64⟺P\left(2\right)=2^5-16\times 2^3+16\times 2^2+48\times 2-64\Longleftrightarrow
P(2)=0P\left(2\right)=0

Donc 22 est bien une racine de PP .
Calculons P′{\color{blue}{P'}} .
P′(X)=5X4−48X2+32X+48P'\left(X\right)=5X^4-48X^2+32X+48 .
P′(2)=5×24−48×22+32×2+48⟺P'\left(2\right)=5\times 2^4-48\times 2^2+32\times 2+48\Longleftrightarrow
P′(2)=0P'\left(2\right)=0

Calculons P′′{\color{blue}{P''}} .
P′′(X)=20X3−96X+32P''\left(X\right)=20X^3-96X+32 .
P′′(2)=20×23−96×2+32⟺P''\left(2\right)=20\times 2^3-96\times 2+32\Longleftrightarrow
P′′(2)=0P''\left(2\right)=0

Calculons P(3){\color{blue}{P^{\left(3\right)}}} .
P(3)(X)=60X2−96P^{\left(3\right)}\left(X\right)=60X^2-96 .
P(3)(2)=60×22−96⟺P^{\left(3\right)}\left(2\right)=60\times 2^2-96\Longleftrightarrow
P(3)(2)=144≠0P^{\left(3\right)}\left(2\right)=144\ne0

Ainsi 22 est une racine de PP d’ordre 3{\color{red}{3}}.
Question 3

Soit i∈C i \in \mathbb{C} .
On considère le polynôme P(X)=X3−(5+2i)X2+(10i−1)X+5P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5 .
Montrer que ii est racine de PP et donner son ordre de multiplicité.

Correction
  • On adoptera la notation K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C}, et l’on précisera si besoin est.
    Soit PP un polynôme non nul de K[X]\mathbb{K}\left[X\right] et aa un élément de K\mathbb{K} .
    aa est un racine de PP d’ordre de multiplicité (n≥1)\left(n \ge 1\right) si et seulement si : P(a)=P′(a)=P′′(a)=⋯=P(n−1)(a)=0P\left(a\right)=P'\left(a\right)=P''\left(a\right)=\cdots =P^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=0 et P(n)(a)≠0P^{\left(n\right)}\left(a\right)\ne0
Soit P(X)=X3−(5+2i)X2+(10i−1)X+5P\left(X\right)=X^3-\left(5+2i\right)X^2+\left(10i-1\right)X+5
On a P(i)=i3−(5+2i)×i2+(10i−1)×i+5⟺P\left(i\right)=i^3-\left(5+2i\right)\times i^2+\left(10i-1\right)\times i+5\Longleftrightarrow
P(i)=0P\left(i\right)=0

Donc ii est bien une racine de PP .
Calculons P′{\color{blue}{P'}} .
P′(X)=3X2−2(5+2i)X+(10i−1)P'\left(X\right)={3X}^2-2\left(5+2i\right)X+\left(10i-1\right)
P′(i)=3×i2−2(5+2i)×i+(10i−1)⟺P'\left(i\right)=3\times i^2-2\left(5+2i\right)\times i+\left(10i-1\right)\Longleftrightarrow
P′(i)=0P'\left(i\right)=0

Calculons P′′{\color{blue}{P''}} .
P′′(X)=6X−2(5+2i)P''\left(X\right)=6X-2\left(5+2i\right)
P′′(i)=6i−2(5+2i)⟺P''\left(i\right)=6i-2\left(5+2i\right)\Longleftrightarrow
P′′(i)=−10+2i≠0P''\left(i\right)=-10+2i\ne0

Ainsi ii est une racine de PP d’ordre 2{\color{red}{2}}.