Polynômes & Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simple dans R\mathbb{R} - Exercice 2

30 min
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Question 1

Soit XX une indéterminée. Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=2X2+1(X2+3)(X4)F(X) = \dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}
Décomposer FF en éléments simples dans R{\color{red}{\mathbb{R}}}.

Correction
FF est sous forme irréductible car 44 le pôle de FF n'est pas racine du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF étant unique, on a :
F(X)=aX+bX2+3+cX4F\left(X\right)=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{c}{X-4}(a;b;c)R3\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3
Calcul de a{\color{red}{a}} :
Nous avons donc 2X2+1(X2+3)(X4)=aX+bX2+3+cX4 \dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{c}{X-4}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (X4)\left(X-4\right), on a alors :
(X4)×2X2+1(X2+3)(X4)=(aX+b)(X4)X2+3+c(X4)X4 \left(X-4\right)\times\dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X-4\right)}{X^2+3}+\frac{c\left(X-4\right)}{X-4}
2X2+1X2+3=(aX+b)(X4)X2+3+c\dfrac{2X^2+1}{X^2+3}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X-4\right)}{X^2+3}+c
Puis maintenant on remplace XX par 44 ce qui nous donne :
2×42+142+3=(a×4+b)(44)42+3+c\dfrac{2\times 4^2+1}{4^2+3}=\frac{\left(a\times 4+b\right)\left(4-4\right)}{4^2+3}+c
2×42+142+3=0+c\dfrac{2\times 4^2+1}{4^2+3}=0+c
Ainsi :
3319=c\frac{33}{19}=c

Calcul de b{\color{red}{b}} :
Nous avons donc 2X2+1(X2+3)(X4)=aX+bX2+3+3319(X4) \dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{33}{19\left(X-4\right)}
00 n'étant pas pôle de FF, nous allons calculer F(0)F\left(0\right) afin de déterminer bb .
D'une part :
F(0)=a×0+b02+3+3319(04) F\left(0\right)=\frac{a\times 0+b}{0^2+3}+\frac{33}{19\left(0-4\right)}
F(0)=b33376 F\left(0\right)=\frac{b}{3}-\frac{33}{76}
D'autre part :
F(0)=2×02+1(02+3)(04)F(0) = \dfrac{2\times 0^2+1}{\left(0^2+3\right)\left(0-4\right)}
F(0)=112F(0) = -\dfrac{1}{12}
Il en résulte donc que :
b33376=112\frac{b}{3}-\frac{33}{76}=-\dfrac{1}{12}
b=3×(112+3376)b=3\times \left(-\dfrac{1}{12}+\frac{33}{76}\right) ainsi
b=2019b=\frac{20}{19}

Nous avons donc 2X2+1(X2+3)(X4)=aX+2019X2+3+3319(X4) \dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+\frac{20}{19}}{X^2+3}+\frac{33}{19\left(X-4\right)}
Calcul de a{\color{red}{a}} :
Nous pouvons également par exemple calculer F(1) F\left(1\right) afin de déterminer la valeur de aa comme nous l'avons fait pour déterminer bb.
Nous allons procéder avec une autre méthode afin que vous puissiez avoir plusieurs méthode de résolution.
Nous allons calculer la limite de XF(X)XF\left(X\right) en ++\infty .
Il vient alors :
limx+XF(X)=limx+X(aX+2019)X2+3+33X19(X4)\lim\limits_{x\to +\infty } XF\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{X\left(aX+\frac{20}{19}\right)}{X^2+3}+\frac{33X}{19\left(X-4\right)}
limx+2X3+X(X2+3)(X4)=limx+X(aX+2019)X2+3+33X19(X4)\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2X^3+X}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{X\left(aX+\frac{20}{19}\right)}{X^2+3}+\frac{33X}{19\left(X-4\right)}
limx+2X3X3=limx+aX2X2+limx+33X19X\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2X^3}{X^3}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{aX^2}{X^2}+\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{33X}{19X}
Ainsi : 2=a+3319 2= a+\frac{33}{19}
Résolvons alors : a+3319=2a+\frac{33}{19}=2 ainsi a=23319a=2-\frac{33}{19} ce qui donne
a=519a=\frac{5}{19}
.
Finalement :
2X2+1(X2+3)(X4)=519X+2019X2+3+3319(X4) \dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{\frac{5}{19}X+\frac{20}{19}}{X^2+3}+\frac{33}{19\left(X-4\right)}

Question 2

Soit XX une indéterminée. Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=(1X2)2(1+X2)(X2+22X+1)2F(X) = \dfrac{(1-X^2)^2}{(1+X^2)(X^2+2\sqrt{2}X+1)^2}
Décomposer FF en éléments simples dans R{\color{red}{\mathbb{R}}}.

Correction
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
De plus, on a la factorisation suivante :
X2+22X+1=(X+2+1)×(X+21)X^2 + 2\sqrt{2} X + 1 = (X + \sqrt{2} + 1) \times (X + \sqrt{2} - 1)
Donc la fraction rationnelle FF prend la forme suivante :
F(X)=aX+b1+X2+A1X+2+1+A2(X+2+1)2+B1X+21+B2(X+21)2F(X) = \dfrac{aX+b}{1+X^2} + \dfrac{A_1}{X + \sqrt{2} + 1} + \dfrac{A_2}{(X + \sqrt{2} + 1)^2} + \dfrac{B_1}{X + \sqrt{2} - 1} + \dfrac{B_2}{(X + \sqrt{2} - 1)^2}
où l'ensemble des coefficients, à déterminer aa, bb A1A_1, A2A_2, B1B_1 et B2B_2, sont dans R{\color{red}{\mathbb{R}}}.
{\color{blue}{\bullet \,\,}} En multipliant la décomposition précédente par 1+X21+X^2, puis en posant X=iX= i (tel que i2=1i^2 = -1), on obtient :
a=0etb=12a = 0 \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, b = -\dfrac{1}{2}
{\color{blue}{\bullet \bullet \,\,}} En multipliant la décomposition par (X+2+1)2(X+\sqrt{2}+1)^2, puis en posant X=12X= -1 - \sqrt{2}, on obtient :
A2=24(1+2)A_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{2})
{\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\,}} En multipliant la décomposition initiale par (X+21)2(X+\sqrt{2}-1)^2, puis en posant X=12X= 1 - \sqrt{2}, on obtient :
B2=24(1+2)B_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(-1 + \sqrt{2})
Puis, on a :
limX+XF(X)=limX+X(1X2)2(1+X2)(X2+22X+1)2=0\lim_{X \longrightarrow +\infty} XF(X) = \lim_{X \longrightarrow +\infty} \dfrac{X(1-X^2)^2}{(1+X^2)(X^2+2\sqrt{2}X+1)^2} = 0

Cette condition implique, à partir de la décomposition initiale, que nous ayons :
a+A1+B1=00+A1+B1=0A1=B1a + A_1 + B_1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 0 + A_1 + B_1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A_1 = - B_1
Afin de déterminer une autre condition entre les coefficients A1A_1 et B1B_1, il suffit de choisir une valeur de XX. Posons X=2X=-\sqrt{2}, on a alors :
F(X=2)=13F(X = -\sqrt{2}) = \dfrac{1}{3}
D'où :
13=a2+b3+A1+A2B1+B216+A1B1+1\dfrac{1}{3} = \dfrac{-a\sqrt{2}+b}{3} + A_1 + A_2 - B_1 + B_2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \dfrac{1}{6} + A_1 - B_1 + 1
Ce qui nous permet d'en déduire que :
A1=14etB1=14A_1 = - \dfrac{1}{4} \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, B_1 = \dfrac{1}{4}
Finalement, la décomposition de FF en éléments simples, R{\color{red}{\mathbb{R}}}, est la suivante :
F(X)=14(21+X21X+2+1+2+2(X+2+1)2+1X+21+22(X+21)2){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{-2}{1+X^2} - \dfrac{1}{X + \sqrt{2} + 1} + \dfrac{2+\sqrt{2}} {(X + \sqrt{2} + 1)^2} + \dfrac{1}{X + \sqrt{2} - 1} + \dfrac{2-\sqrt{2}}{(X + \sqrt{2} - 1)^2} \right) }}}