Décomposition en éléments simple dans $$\mathbb{R}$$ - Exercice 2

$$F$$ est sous forme irréductible car $$4$$ le pôle de $$F$$ n'est pas racine du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{c}{X-4}$$ où $$\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{c}{X-4}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-4\right)$$, on a alors :
$$\left(X-4\right)\times\dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X-4\right)}{X^2+3}+\frac{c\left(X-4\right)}{X-4}$$
$$\dfrac{2X^2+1}{X^2+3}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X-4\right)}{X^2+3}+c$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$4$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{2\times 4^2+1}{4^2+3}=\frac{\left(a\times 4+b\right)\left(4-4\right)}{4^2+3}+c$$
$$\dfrac{2\times 4^2+1}{4^2+3}=0+c$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+b}{X^2+3}+\frac{33}{19\left(X-4\right)}$$
$$0$$ n'étant pas pôle de $$F$$, nous allons calculer $$F\left(0\right)$$ afin de déterminer $$b$$ .
D'une part :
$$F\left(0\right)=\frac{a\times 0+b}{0^2+3}+\frac{33}{19\left(0-4\right)}$$
$$F\left(0\right)=\frac{b}{3}-\frac{33}{76}$$
D'autre part :
$$F(0) = \dfrac{2\times 0^2+1}{\left(0^2+3\right)\left(0-4\right)}$$
$$F(0) = -\dfrac{1}{12}$$
Il en résulte donc que :
$$\frac{b}{3}-\frac{33}{76}=-\dfrac{1}{12}$$
$$b=3\times \left(-\dfrac{1}{12}+\frac{33}{76}\right)$$ ainsi
Nous avons donc $$\dfrac{2X^2+1}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\frac{aX+\frac{20}{19}}{X^2+3}+\frac{33}{19\left(X-4\right)}$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous pouvons également par exemple calculer $$F\left(1\right)$$ afin de déterminer la valeur de $$a$$ comme nous l'avons fait pour déterminer $$b$$.
Nous allons procéder avec une autre méthode afin que vous puissiez avoir plusieurs méthode de résolution.
Nous allons calculer la limite de $$XF\left(X\right)$$ en $$+\infty$$ .
Il vient alors :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } XF\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{X\left(aX+\frac{20}{19}\right)}{X^2+3}+\frac{33X}{19\left(X-4\right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2X^3+X}{\left(X^2+3\right)\left(X-4\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{X\left(aX+\frac{20}{19}\right)}{X^2+3}+\frac{33X}{19\left(X-4\right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2X^3}{X^3}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{aX^2}{X^2}+\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{33X}{19X}$$
Ainsi : $$2= a+\frac{33}{19}$$
Résolvons alors : $$a+\frac{33}{19}=2$$ ainsi $$a=2-\frac{33}{19}$$ ce qui donne .
Finalement :

Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
De plus, on a la factorisation suivante :
$$X^2 + 2\sqrt{2} X + 1 = (X + \sqrt{2} + 1) \times (X + \sqrt{2} - 1)$$
Donc la fraction rationnelle $$F$$ prend la forme suivante :
$$F(X) = \dfrac{aX+b}{1+X^2} + \dfrac{A_1}{X + \sqrt{2} + 1} + \dfrac{A_2}{(X + \sqrt{2} + 1)^2} + \dfrac{B_1}{X + \sqrt{2} - 1} + \dfrac{B_2}{(X + \sqrt{2} - 1)^2}$$
où l'ensemble des coefficients, à déterminer $$a$$, $$b$$ $$A_1$$, $$A_2$$, $$B_1$$ et $$B_2$$, sont dans $${\color{red}{\mathbb{R}}}$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\,}}$$ En multipliant la décomposition précédente par $$1+X^2$$, puis en posant $$X= i$$ (tel que $$i^2 = -1$$), on obtient :
$$a = 0 \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, b = -\dfrac{1}{2}$$
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\,}}$$ En multipliant la décomposition par $$(X+\sqrt{2}+1)^2$$, puis en posant $$X= -1 - \sqrt{2}$$, on obtient :
$$A_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{2})$$
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\,}}$$ En multipliant la décomposition initiale par $$(X+\sqrt{2}-1)^2$$, puis en posant $$X= 1 - \sqrt{2}$$, on obtient :
$$B_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(-1 + \sqrt{2})$$
Puis, on a :
$$\lim_{X \longrightarrow +\infty} XF(X) = \lim_{X \longrightarrow +\infty} \dfrac{X(1-X^2)^2}{(1+X^2)(X^2+2\sqrt{2}X+1)^2} = 0$$

Cette condition implique, à partir de la décomposition initiale, que nous ayons :
$$a + A_1 + B_1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 0 + A_1 + B_1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A_1 = - B_1$$
Afin de déterminer une autre condition entre les coefficients $$A_1$$ et $$B_1$$, il suffit de choisir une valeur de $$X$$. Posons $$X=-\sqrt{2}$$, on a alors :
$$F(X = -\sqrt{2}) = \dfrac{1}{3}$$
D'où :
$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{-a\sqrt{2}+b}{3} + A_1 + A_2 - B_1 + B_2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \dfrac{1}{6} + A_1 - B_1 + 1$$
Ce qui nous permet d'en déduire que :
$$A_1 = - \dfrac{1}{4} \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, B_1 = \dfrac{1}{4}$$
Finalement, la décomposition de $$F$$ en éléments simples, $${\color{red}{\mathbb{R}}}$$, est la suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{-2}{1+X^2} - \dfrac{1}{X + \sqrt{2} + 1} + \dfrac{2+\sqrt{2}} {(X + \sqrt{2} + 1)^2} + \dfrac{1}{X + \sqrt{2} - 1} + \dfrac{2-\sqrt{2}}{(X + \sqrt{2} - 1)^2} \right) }}}$$