Décomposition en éléments simple dans $$\mathbb{C}$$ - Exercice 2

La fraction rationnelle $$F$$ est sous sa forme irréductible. Et, dans $${\color{red}{\mathbb{C}}}$$, on a :
$$X^2+X+1 = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X & = & j \\ X & = & \bar{j} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, X^2+X+1 =(X-j)(X-\bar{j})$$
De plus, le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, le partie entière de $$F$$ est nulle. La décomposition de $$F$$ en éléments simples, dans $${\color{red}{\mathbb{C}}}$$, est donc :
$$F(X) = \sum_{k=1}^{3} \left( \dfrac{A_k}{(x-j)^k} + \dfrac{B_k}{(x-\bar{j})^k}\right)$$
Cependant, la fraction rationnelle $$F$$ proposée appartient à $$\mathbb{R}[X]$$, donc $$F$$ est inchangée par le $$passage \,\, au \,\, conjugué$$ (on remplace tous les coefficients par leurs conjugués), d'où :
$$F(X) = \sum_{k=1}^{3} \left( \dfrac{\overline{A_k}}{(x-\bar{j})^i} + \dfrac{\overline{B_k}}{(x-j)^k} \right)$$
On en déduit immédiatement, par unicité de la décomposition, que :
$$A_k = \overline{B_k} \,\,\,\, \forall k \in \left\lbrace 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \right\rbrace$$
Afin de faciliter la détermination des coefficients $$A_1$$, $$A_2$$ et $$A_3$$, on va poser :
$$h = X - j$$
Ainsi, avec $$i^2 = -1$$, on a :
$$X^2+X+1 = h (h + 2j +1) = h(h+i \sqrt{3})$$
Ce qui implique que :
$$(X^2+X+1)^3 = h^3(h+ i\sqrt{3})^3 = -i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3$$
On peut alors écrire que :
$$F(X) = \dfrac{1}{-i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3}$$
Comme $$X=j$$ est un pôle $${\color{blue}{triple}}$$, on va effectuer la division euclidienne de $$1$$ par $$-i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3$$ suivant les valeurs croissantes de $$h$$ jusqu'à $${\color{red}{l'ordre}}$$ $${\color{blue}{3}}-1={\color{red}{2}}$$. On a alors :

On obtient alors les trois coefficients complexes recherchés :
$$A_1 = -\dfrac{2i}{3\sqrt{3}} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, A_2 = -\dfrac{1}{3} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, A_3 = \dfrac{i}{3\sqrt{3}}$$
On en déduit alors que :
$$B_1 = \dfrac{2i}{3\sqrt{3}} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\,B_2 = -\dfrac{1}{3} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\,B_3 = -\dfrac{i}{3\sqrt{3}}$$
Finalement la décomposition de $$F$$ en éléments simples dans $${\color{red}{\mathbb{C}}}$$ est :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{3\sqrt{3}} \left(-\dfrac{2i}{X-j} - \dfrac{\sqrt{3}}{(X-j)^2} + \dfrac{i}{(X-j)^3} + \dfrac{2i}{X-\bar{j}} - \dfrac{\sqrt{3}}{(X-\bar{j})^2} - \dfrac{i}{(X-\bar{j})^3} \right) }}}$$