Polynômes & Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simple dans C\mathbb{C} - Exercice 2

30 min
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Une décomposition en éléments simples dans C\mathbb{C}.
Question 1
Soit XX une indéterminée.
Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=1(X2+X+1)3F(X) =\dfrac{1}{(X^2+X+1)^3}
On note par ii le nombre complexe imaginaire pur tel que i2=1i^2=-1 et on notera par jj le nombre complexe suivant :
j=1+i32j = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2}

Décomposer FF en éléments simples dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}.

Correction
La fraction rationnelle FF est sous sa forme irréductible. Et, dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}, on a :
X2+X+1=0{X=jX=jˉX2+X+1=(Xj)(Xjˉ)X^2+X+1 = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} X & = & j \\ X & = & \bar{j} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, X^2+X+1 =(X-j)(X-\bar{j})
De plus, le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, le partie entière de FF est nulle. La décomposition de FF en éléments simples, dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}, est donc :
F(X)=k=13(Ak(xj)k+Bk(xjˉ)k)F(X) = \sum_{k=1}^{3} \left( \dfrac{A_k}{(x-j)^k} + \dfrac{B_k}{(x-\bar{j})^k}\right)
Cependant, la fraction rationnelle FF proposée appartient à R[X]\mathbb{R}[X], donc FF est inchangée par le passageauconjugueˊpassage \,\, au \,\, conjugué (on remplace tous les coefficients par leurs conjugués), d'où :
F(X)=k=13(Ak(xjˉ)i+Bk(xj)k)F(X) = \sum_{k=1}^{3} \left( \dfrac{\overline{A_k}}{(x-\bar{j})^i} + \dfrac{\overline{B_k}}{(x-j)^k} \right)
On en déduit immédiatement, par unicité de la décomposition, que :
Ak=Bkk{1;2;3}A_k = \overline{B_k} \,\,\,\, \forall k \in \left\lbrace 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \right\rbrace
Afin de faciliter la détermination des coefficients A1A_1, A2A_2 et A3A_3, on va poser :
h=Xjh = X - j
Ainsi, avec i2=1i^2 = -1, on a :
X2+X+1=h(h+2j+1)=h(h+i3)X^2+X+1 = h (h + 2j +1) = h(h+i \sqrt{3})
Ce qui implique que :
(X2+X+1)3=h3(h+i3)3=i339h+i33h2+h3(X^2+X+1)^3 = h^3(h+ i\sqrt{3})^3 = -i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3
On peut alors écrire que :
F(X)=1i339h+i33h2+h3F(X) = \dfrac{1}{-i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3}
Comme X=jX=j est un pôle triple{\color{blue}{triple}}, on va effectuer la division euclidienne de 11 par i339h+i33h2+h3-i 3\sqrt{3} - 9 h + i 3\sqrt{3} h^2 + h^3 suivant les valeurs croissantes de hh jusqu'à lordre{\color{red}{l'ordre}} 31=2{\color{blue}{3}}-1={\color{red}{2}}. On a alors :

On obtient alors les trois coefficients complexes recherchés :
A1=2i33etA2=13etA3=i33A_1 = -\dfrac{2i}{3\sqrt{3}} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, A_2 = -\dfrac{1}{3} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, A_3 = \dfrac{i}{3\sqrt{3}}
On en déduit alors que :
B1=2i33etB2=13etB3=i33B_1 = \dfrac{2i}{3\sqrt{3}} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\,B_2 = -\dfrac{1}{3} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\,B_3 = -\dfrac{i}{3\sqrt{3}}
Finalement la décomposition de FF en éléments simples dans C{\color{red}{\mathbb{C}}} est :
F(X)=133(2iXj3(Xj)2+i(Xj)3+2iXjˉ3(Xjˉ)2i(Xjˉ)3){\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{1}{3\sqrt{3}} \left(-\dfrac{2i}{X-j} - \dfrac{\sqrt{3}}{(X-j)^2} + \dfrac{i}{(X-j)^3} + \dfrac{2i}{X-\bar{j}} - \dfrac{\sqrt{3}}{(X-\bar{j})^2} - \dfrac{i}{(X-\bar{j})^3} \right) }}}