Polynômes & Décomposition en éléments simples

Décomposition en éléments simple dans C\mathbb{C} - Exercice 1

5 min
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Question 1

Soit XX une indéterminée. Soit FF la fraction rationnelle suivante :
F(X)=1X2+1F(X) = \dfrac{1}{X^2+1}
Décomposer FF en éléments simples dans C{\color{red}{\mathbb{C}}}.

Correction
Soit F(X)=1X2+1F(X) = \dfrac{1}{X^2+1} que nous pouvons écrire : F(X)=1(Xi)(X+i)F(X) = \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}
FF est sous forme irréductible car i-i et ii les pôles de FF ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de FF est nulle.
La décomposition en éléments simples de FF étant unique, on a :
F(X)=aX+i+bXiF\left(X\right)=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}(a;b)C2\left(a;b\right) \in \mathbb{C}^2
Calcul de a{\color{red}{a}} :
Nous avons donc 1(Xi)(X+i)=aX+i+bXi \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (X+i)\left(X+i\right), on a alors :
(X+i)×1(Xi)(X+i)=a×(X+i)X+i+b×(X+i)Xi\left( X+i\right)\times \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a\times\left( X+i\right)}{X+i}+\frac{b\times\left( X+i\right)}{X-i}
1Xi=a+b×(X+i)Xi\dfrac{1}{X-i}=a+\frac{b\times\left( X+i\right)}{X-i}
Puis maintenant on remplace XX par i-i ce qui nous donne :
1ii=a+b×(i+i)ii\dfrac{1}{-i-i}=a+\frac{b\times\left( -i+i\right)}{-i-i}
12i=a+b×0ii\dfrac{1}{-2i}=a+\frac{b\times 0}{-i-i}
12i=a-\dfrac{1}{2i}=a
1×i2i×i=a-\dfrac{1\times i}{2i\times i}=a
Ainsi :
12i=a\frac{1}{2}i=a

Calcul de b{\color{red}{b}} :
Nous avons donc 1(Xi)(X+i)=aX+i+bXi \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par (Xi)\left(X-i\right), on a alors :
(Xi)×1(Xi)(X+i)=a×(Xi)X+i+b×(Xi)Xi\left( X-i\right)\times \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a\times\left( X-i\right)}{X+i}+\frac{b\times\left( X-i\right)}{X-i}
1X+i=a×(Xi)X+i+b\dfrac{1}{X+i}=\frac{a\times\left( X-i\right)}{X+i}+b
Puis maintenant on remplace XX par ii ce qui nous donne :
1i+i=a×(ii)i+i+b\dfrac{1}{i+i}=\frac{a\times\left( -i-i\right)}{i+i}+b
12i=a×0i+i+b\dfrac{1}{2i}=\frac{a\times 0}{i+i}+b
12i=b\dfrac{1}{2i}=b
1×i2i×i=b\dfrac{1\times i}{2i\times i}=b
Ainsi :
12i=b-\frac{1}{2}i=b

On obtient donc enfin la décomposition suivante :
F(X)=i2(X+i)i2(Xi)F\left(X\right)=\frac{i}{2\left(X+i\right)}-\frac{i}{2\left(X-i\right)}