Décomposition en éléments simple dans $$\mathbb{C}$$ - Exercice 1

Soit $$F(X) = \dfrac{1}{X^2+1}$$ que nous pouvons écrire : $$F(X) = \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}$$
$$F$$ est sous forme irréductible car $$-i$$ et $$i$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}$$ où $$\left(a;b\right) \in \mathbb{C}^2$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+i\right)$$, on a alors :
$$\left( X+i\right)\times \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a\times\left( X+i\right)}{X+i}+\frac{b\times\left( X+i\right)}{X-i}$$
$$\dfrac{1}{X-i}=a+\frac{b\times\left( X+i\right)}{X-i}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-i$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{-i-i}=a+\frac{b\times\left( -i+i\right)}{-i-i}$$
$$\dfrac{1}{-2i}=a+\frac{b\times 0}{-i-i}$$
$$-\dfrac{1}{2i}=a$$
$$-\dfrac{1\times i}{2i\times i}=a$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-i\right)$$, on a alors :
$$\left( X-i\right)\times \dfrac{1}{\left(X-i\right)\left(X+i\right)}=\frac{a\times\left( X-i\right)}{X+i}+\frac{b\times\left( X-i\right)}{X-i}$$
$$\dfrac{1}{X+i}=\frac{a\times\left( X-i\right)}{X+i}+b$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$i$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{i+i}=\frac{a\times\left( -i-i\right)}{i+i}+b$$
$$\dfrac{1}{2i}=\frac{a\times 0}{i+i}+b$$
$$\dfrac{1}{2i}=b$$
$$\dfrac{1\times i}{2i\times i}=b$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :