Bien décomposer ! - Exercice 1

On constate que, dans $$\mathbb{R}$$, il n'est pas possible de factoriser le terme $$X^2+1$$.
On a donc la décomposition en éléments simples suivante :
$$F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{BX+C}{X^2+1}$$
On a alors :
$$(X-1)F(X) = \dfrac{X}{(X^2+1)} = A + \dfrac{(X-1)(BX+C)}{X^2+1}$$
En posant $$X = 1$$, on trouve que :
$$\dfrac{1}{(1^2+1)} = A + \dfrac{(1-1)(BX+C)}{1^2+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = A + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = \dfrac{1}{2}$$
Donc :
$$F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{1}{2(X-1)} + \dfrac{BX+C}{X^2+1}$$
En posant $$X =0$$, on obtient :
$$F(X=0) = \dfrac{0}{(0-1)(0^2+1)} = \dfrac{1}{2(0-1)} + \dfrac{B0+C}{0^2+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = -\dfrac{1}{2} + C \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, C = \dfrac{1}{2}$$
Donc :
$$F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{1}{2(X-1)} + \dfrac{2BX+1}{2(X^2+1)}$$
En posant $$X =2$$, on obtient :
$$F(X=2) = \dfrac{2}{(2-1)(2^2+1)} = \dfrac{1}{2(2-1)} + \dfrac{2B2+1}{2(2^2+1)} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4B+1}{10} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{4B+1}{10}$$
Soit :
$$4 = 5 + 4B + 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 4 = 6 + 4B \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 4B =-2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2B =-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, B = -\dfrac{1}{2}$$
Finalement, dans $$\mathbb{R}$$, la décomposition en éléments simples recherchées est donnée par :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{1}{2(X-1)} + \dfrac{-X+1}{2(X^2+1)}}}}$$

On constate que, dans $$\mathbb{C}$$, il est possible de factoriser le terme $$X^2+1$$. En effet, on a :
$$X^2+1 = (X-i)(X+i)$$
On a donc la décomposition en éléments simples suivante :
$$F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{A}{X-1} + \dfrac{B}{X-i} + \dfrac{C}{X+i}$$
On a alors :
$$(X-1)F(X) = \dfrac{X}{(X^2+1)} = A + \dfrac{(X-1)B}{X-i} + \dfrac{(X-1)C}{X+i}$$
En posant $$X = 1$$, on trouve que :
$$\dfrac{1}{(1^2+1)} = A + \dfrac{(1-1)B}{1-i} + \dfrac{(1-1)C}{1+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = A + 0 + 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = \dfrac{1}{2}$$
Donc :
$$F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{1}{2(X-1)} + \dfrac{B}{X-i} + \dfrac{C}{X+i}$$
En posant $$X = 0$$, on obtient :
$$F(X=0) = \dfrac{0}{(0-1)(0^2+1)} = \dfrac{1}{2(0-1)} + \dfrac{B}{0-i} + \dfrac{C}{0+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{B}{-i} + \dfrac{C}{i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2}i = C - B$$
Si on pose maintenant $$X = 2$$, on trouve que :
$$F(X=2) = \dfrac{2}{(2-1)(2^2+1)} = \dfrac{1}{2(2-1)} + \dfrac{B}{2-i} + \dfrac{C}{2+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{B}{2-i} + \dfrac{C}{2+i}$$
Soit :
$$-\dfrac{1}{10} = \dfrac{B}{2-i} + \dfrac{C}{2+i}$$
Or, on sait que $$B = C - \dfrac{1}{2}i$$, donc :
$$-\dfrac{1}{10} = \dfrac{C - \dfrac{1}{2}i}{2-i} + \dfrac{C}{2+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{1}{10} = \dfrac{C}{2-i} - \dfrac{\dfrac{1}{2}i}{2-i} + \dfrac{C}{2+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\dfrac{1}{2}i}{2-i} -\dfrac{1}{10} = \dfrac{C}{2-i} + \dfrac{C}{2+i}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{-1+2i}{10} -\dfrac{1}{10} = \dfrac{C}{2-i} + \dfrac{C}{2+i} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{-1+i}{5} = C \left(\dfrac{1}{2-i} + \dfrac{1}{2+i} \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{-1+i}{5} = C \left(\dfrac{4}{5} \right)$$
Soit encore :
$$-1+i = 4C$$
Et donc :
$$C = \dfrac{-1+i}{4}$$
On en déduit alors que :
$$B = C - \dfrac{1}{2}i = \dfrac{-1+i}{4} - \dfrac{1}{2}i = \dfrac{-1+i}{4} - \dfrac{2i}{4} = \dfrac{-1+i-2i}{4} = \dfrac{-1-i}{4} = - \dfrac{1+i}{4}$$
Finalement, dans $$\mathbb{C}$$, on obtient la décomposition en éléments simples suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{X}{(X-1)(X^2+1)} = \dfrac{1}{2(X-1)} - \dfrac{1+i}{4(X-i)} + \dfrac{-1+i}{4(X+i)}}}}$$