Vrai ou Faux ? - Exercice 1

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car la partie imaginaire de $$i = 0 + 1 \, i$$ est $$1$$. On note $$\Im m(i) = 1 \neq i$$.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car $$(3+4i)^2 = 4+24i+(4i)^2 = 4+24i-16 = -12 + 24i \neq 9+16i$$.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car il suffit de considérer l'équation $$z^2 + z + 1 = 0$$, dont le discriminant est $$\Delta = 1^2 -4\times 1 \times 1 = -3$$. Les deux solutions sont alors $$z_1 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C}$$ et $$z_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C}$$. Dans ce cas :
$$S = z_1 + z_2 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} + \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} = -1 \in \mathbb{R}$$
$$P = z_1 \times z_2 = \dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2} = \dfrac{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 \in \mathbb{R}$$

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ il suffit de choisir $$a=1$$ et $$b=i$$ et de fait on obtient $$1+ii = 1+i^2 = 1 - 1 =0$$.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car le nombre complexe nul n'a pas d'argument.

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ par définition.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car $$\arg(z^n) = n \arg(z) + k2\pi \neq \arg(z) + n$$ avec $$k \in \mathbb{z}$$.

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ car c'est la définition des racines carrées d'un nombre complexe $$z$$ sous forme trigonométrique.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car il suffit de considérer le nombre complexe $$z = e^{i \, \pi^3}$$ et dans ce cas, on a $$z^n = \left( e^{i \, \pi^3} \right)^n = e^{i \, n\pi^3}$$.
Et ce nombre complexe $$e^{i \, n\pi^3}$$ n'est pas une une racine $$n$$-ième de l'unité.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car le terme $$\sqrt{a}$$ n'a de sens que si $$a \in \mathbb{R}$$. Or $$i \in \mathbb{C}$$.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car les trois racines cubique de l'unité sont $$1$$, $$e^{i \, \frac{2\pi}{3}}$$ et $$e^{-i \, \frac{2\pi}{3}}$$.

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ c'est une propriété que vous avez vu en cours et sans doute même démontrée dans le cadre de ce dernier.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car les trois coefficients (de l'équation proposée) $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont des nombres complexes non nuls. Dans le cas ou ces trois coefficients seraient tous des réels (et $$a$$ non nul) alors cela serait vrai.

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car il y a en fait une infinité de solutions. Avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a $$z = i \, \left(\pi + k2\pi \right)$$. En effet, on a $$-1 = e^{i \, \left(\pi + k2\pi \right)}$$.

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ par définition des racines carrées sous forme trigonométrique. Puis, on a :
$$1+i = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \left( \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right) + i \, \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{2} \, e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$
Le résultat en découle directement.

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ par la méthode de détermination des racines carrées sous forme cartésienne (ou rectangulaire).

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ car il suffit d'exploiter les deux questions précédentes. En effet, on a :
$$2^{\frac{1}{4}} e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} + i \, \sqrt{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}}$$
Soit encore :
$$e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \dfrac{1}{2^{\frac{1}{4}}}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} + i \, \dfrac{1}{2^{\frac{1}{4}}}\sqrt{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}} + i \, \sqrt{-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}}$$
Soit encore :
$$e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}} + \dfrac{1}{2}} + i \, \sqrt{-\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}} + \dfrac{1}{2}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}} + i \, \sqrt{-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}}$$
En introduisant l'écriture trigonométrique :
$$e^{i \, \frac{\pi}{8}} = \cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) + i \, \sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right)$$
On obtient alors l'égalité suivante :
$$\cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) + i \, \sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}} + i \, \sqrt{-\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{1}{2}}$$
Enfin, en égalisant les parties réelles et imaginaires respectives, on trouve que :
$$\cos\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}} \,\,\,$$ et $$\,\,\, \sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}}$$

$$\bf{{\color{red}{Vrai}}}$$ carle discriminant est $$\Delta = \left( -(1+9i) \right)^2 - 4 \times 2 \times (-7+11i) = -24-70i \in \mathbb{C}$$. Les deux racines carrées de $$\Delta = -24-70i$$ sont $$\pm(5-7i)$$. Et de fait, les solutions sont données par :
$$\bullet \,\,z = \dfrac{ -\left( -(1+9i) \right)+5-7i}{2\times 2} = \dfrac{1+9i+5-7i}{4} = \dfrac{6+2i}{4} = \dfrac{3+i}{2} = \dfrac{1}{2}(3+i)$$
$$\bullet \, \bullet \,\,z = \dfrac{ -\left( -(1+9i) \right)-(5-7i)}{2\times 2} = \dfrac{1+9i-5+7i}{4} = \dfrac{-4+16i}{4} =-1+4i$$

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car le dernier terme $$15 \sin^5(x)$$ est faux, il doit être égal à $$16 \sin^5(x)$$.
En effet, d'après la formule de Moivre on a :
$$\left(\cos(x) + i \sin(x)\right)^5 = \cos(5x) + i \, \sin(5x)$$
De plus, en développant, on a :
$$\left(\cos(x) + i \sin(x)\right)^5 = \cos^5(x) + 5i \cos^4(x)\sin(x) - 10 \cos^3(x) \sin^2(x) - 10i \cos^2(x) \sin^3(x) + 5 \cos(x) \sin^4(x) + i \sin^5(x)$$
Ce qui nous donne :
$$\left(\cos(x) + i \sin(x)\right)^5 = \cos^5(x) - 10 \cos^3(x) \sin^2(x) + 5 \cos(x) \sin^4(x) + i \left( 5 \cos^4(x)\sin(x) - 10 \cos^2(x) \sin^3(x) + \sin^5(x)\right)$$
Donc, on obtient l'égalité suivante :
$${\color{red}{\cos(5x)}} + i \, {\color{blue}{\sin(5x)}} = {\color{red}{\cos^5(x) - 10 \cos^3(x) \sin^2(x) + 5 \cos(x) \sin^4(x)}} + i \left( {\color{blue}{5 \cos^4(x)\sin(x) - 10 \cos^2(x) \sin^3(x) + \sin^5(x)}} \right)$$
En égalisant $$\bf{{\color{blue}{les \,\, parties \,\, imaginaires}}}$$, on obtient alors :
$$\sin(5x) = 5 \cos^4(x)\sin(x) - 10 \cos^2(x) \sin^3(x) + \sin^5(x)$$
Mais $$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$$, dont on obtient :
$$\sin(5x) = 5 \left( 1 - \sin^2(x) \right)^2\sin(x) - 10 \left( 1 - \sin^2(x) \right) \sin^3(x) + \sin^5(x)$$
Donc :
$$\sin(5x) = 5 \left( 1 - 2\sin^2(x) + \sin^4(x) \right) \sin(x) - 10\sin^3(x) + 10 \sin^5(x) + \sin^5(x)$$
En développant :
$$\sin(5x) = 5\sin(x) - 10 \sin^3(x) + 5 \sin^5(x) - 10\sin^3(x) + 10 \sin^5(x) + \sin^5(x)$$
En regroupant, on obtient finalement :
$$\sin(5x) = 5\sin(x) - 20 \sin^3(x) + 16 \sin^5(x)$$

$$\bf{{\color{blue}{Faux}}}$$ car le premier terme n'est pas $$\dfrac{1}{4} \sin(3x)$$ mais son opposé $$-\dfrac{1}{4} \sin(3x)$$. En effet, on a :
$$\sin^3(x) = \left( \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^3 = \dfrac{\left(e^{ix}\right)^3-3 \left( e^{ix} \right)^2 e^{-ix} + 3e^{ix} \left( e^{-ix} \right)^2 - \left(e^{-ix}\right)^3}{-8i} = \dfrac{e^{3ix} - 3 e^{ix} + 3 e^{-ix} - e^{-3ix}}{-8i}$$
Soit encore :
$$\sin^3(x) = \dfrac{e^{3ix} - e^{-3ix} - 3 \left( e^{ix} - e^{-ix} \right)}{-8i} = \dfrac{2i \sin(3x) - 3 \times 2i\sin(x)}{-8i} = \dfrac{2 \sin(3x) - 6\sin(x)}{-8} = \dfrac{\sin(3x) - 3\sin(x)}{-4}$$
Ce qui nous donne donc :
$$\sin^3(x) = \dfrac{-\sin(3x) + 3\sin(x)}{4}$$
Finalement :
$$\sin^3(x) = -\dfrac{1}{4} \sin(3x) + \dfrac{3}{4} \sin(x)$$