Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Linéariser les expressions de la forme cos⁡n(ax){\cos}^n\left(ax\right) et sin⁡m(bx){\sin}^m\left(bx\right) - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression sin⁡2(x)\sin^2(x). En déduire la valeur exacte de sin(π12) {\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{12}\right)\ } .

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • sin⁡2(x)=(eix−e−ix2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{2} équivaut successivement à :
    sin⁡2(x)=(eix−e−ix)2(2i)2\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{\left(2i\right)^{2} }
    sin⁡2(x)=(eix−e−ix)2−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin⁡2(x)=(eix)2−2eixe−ix+(e−ix)2−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} -2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2eix−ix+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2e0+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2e^{0} +e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix−2+e−2ix−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} -2+e^{-2ix} }{-4}
    sin⁡2(x)=e2ix+e−2ix−4−2−4\sin ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{-4} -\frac{2}{-4}
    sin⁡2(x)=−12×(e2ix+e−2ix2)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    sin⁡2(x)=−12cos⁡(2x)+12\sin ^{2} \left(x\right)=-\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

    Comme π12∈[0;π2]\frac{\pi }{12}\in\left[0;\frac{\pi }{2}\right] alors sin(π12) >0{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{12}\right)\ }>0
    Il en résulte donc que :
    sin⁡2(π12)=−12cos⁡(2×π12)+12\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2} \cos \left(2\times\frac{\pi }{12}\right)+\frac{1}{2}
    sin⁡2(π12)=−12cos⁡(π6)+12\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}
    sin⁡2(π12)=−12×32+12\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}
    sin⁡2(π12)=−34+12\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{12}\right)=- \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}
    sin⁡2(π12)=2−34\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{12}\right)= \frac{2-\sqrt{3}}{4}
    Ainsi :
    sin⁡(π12)=2−34\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)=\sqrt{ \frac{2-\sqrt{3}}{4} }
    Question 2

    Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡2(x)\cos^2(x). En déduire la valeur exacte de cos(π8) {\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{8}\right)\ } .

    Correction
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • cos⁡2(x)=(eix+e−ix2)2\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2} équivaut successivement à :
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)222\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=(eix)2+2eixe−ix+(e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2eix−ix+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2e0+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+e−2ix4+24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}
    cos⁡2(x)=12×(e2ix+e−2ix2)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    cos⁡2(x)=12cos⁡(2x)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

    Comme π8∈[0;π2]\frac{\pi }{8}\in\left[0;\frac{\pi }{2}\right] alors cos(π8) >0{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{8}\right)\ }>0
    Il en résulte donc que :
    cos⁡2(π8)=12cos⁡(2×π8)+12\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8}\right)=\frac{1}{2} \cos \left(2\times \frac{\pi }{8}\right)+\frac{1}{2}
    cos⁡2(π8)=12cos⁡(π4)+12\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8}\right)=\frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{2}
    cos⁡2(π8)=12×22+12\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}
    cos⁡2(π8)=24+12\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}
    cos⁡2(π8)=2+24\cos ^{2} \left(\frac{\pi }{8}\right)=\frac{2+\sqrt{2}}{4}
    Ainsi :
    cos⁡(π8)=2+24\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}