Retour au chapitre

Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Linéariser les expressions de la forme ${\cos}^n\left(ax\right)$ et ${\sin}^m\left(bx\right)$ - Exercice 1

45 min

Soit

\theta

un nombre réel. Linéariser une expression trigonométrique du type

\cos^n(\theta)

\sin^n(\theta)

ou encore

\cos^n(\theta) \times \sin^p(\theta)

(avec

n

p

qui sont deux nombres entiers naturels non nuls) consiste à les exprimer comme des sommes de termes de la forme

\cos(k\theta)

\sin(k\theta)

k

est un nombre entier naturel non nul.
Pour réaliser cela on fait usage des deux formules d'

Euler

, à savoir :

\forall \theta \in \mathbb{R}, \,\, \cos(\theta) = \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, \sin(\theta) = \dfrac{e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta}}{2\,i}

Cette technique de linéarisation est très utile pour intégrer certaines expressions trigonométriques. En revanche, c'est une technique calculatoire et qui peut s'avérer parfois longue. Cependant, cette technique de linéarisation repose sur la puissance calculatoire associée à l'exponentielle.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^2(x)$ .

Correction

\red{\text{Les formules d'Euler}}

Pour tout

{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}

, on a :

\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}

\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}

Soit

{\color{red}{a}}

un réel. Pour tout

{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}

, on a :

\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}

\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}

\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2}

équivaut successivement à :

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}

Ainsi :

\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

Question 2

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^3(\theta)$ .

Correction

On a :

\cos^3(\theta) = \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right)^3 = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^3}{8} = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} \right)^3 + 3 \left(e^{i\, \theta} \right)^2 e^{-i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} \left( e^{-i\, \theta} \right)^2 + \left( e^{-i\, \theta} \right)^3}{8}

Ce qui nous donne donc :

\cos^3(\theta) = \dfrac{e^{3i\, \theta} + 3 e^{2i\, \theta} e^{-i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} e^{-2i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{8} = \dfrac{e^{3i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} + 3 e^{-i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{8} = \dfrac{e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta} + 3 \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{8}

Soit encore :

\cos^3(\theta) = \dfrac{2 \cos(3\theta) + 3\times 2\cos(\theta)}{8} = \dfrac{2\cos(3\theta) + 6\cos(\theta)}{8}

Finalement, on obtient la linéarisation suivante :

{\color{red}{\boxed{ \cos^3(\theta) = \dfrac{3}{4}\cos(\theta) + \dfrac{1}{4}\cos(3\theta) }}}

Question 3

Soit $x$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\sin^4(x)$ .

Correction

\red{\text{Les formules d'Euler}}

Pour tout

{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}

, on a :

\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2}

\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}

Soit

{\color{red}{a}}

un réel. Pour tout

{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}

, on a :

\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2}

\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}

\sin ^{4} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{4}

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4} }{\left(2i\right)^{4} }

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4}

On va appliquer le binôme de newton :

\red{\text{Formule du binôme de Newton}}

Soient

a

b

deux nombres complexes. Pour tout entier naturel

n

, on a :

\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times 1\times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{3} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{1} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{0} \right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{ix} \times e^{-3ix} +6\times e^{i2x} \times e^{-2ix} -4\times e^{3ix} \times e^{-ix} +1\times e^{-4ix} \times 1\right)

\cos ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6\times e^{0} -4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6-4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4e^{-2ix} -4e^{2ix} +6\right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)+6\right)

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)}{16} +\frac{6}{16}

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{4} +\frac{3}{8}

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \times \frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{2} -\frac{1}{2} \times \frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{2} +\frac{3}{8}

Soit :

\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \cos \left(4x\right)-\frac{1}{2} \cos \left(2x\right)+\frac{3}{8}

Question 4

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\sin^4(\theta)\cos^2(\theta)$ .

Correction

On a :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \left( \dfrac{e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta}}{2i}\right)^4 \times \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right)^2 = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta} \right)^4 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^2}{64}

Soit :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta} \right)^4 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^2}{64}

Ce qui nous donne donc :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{3i\, \theta} e^{-i\, \theta} + 6e^{2i\, \theta}e^{-2i\, \theta} - 4e^{i\, \theta} e^{-3i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2e^{i\, \theta}e^{-i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}

En simplifiant les exponentielles, on obtient alors :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{2i\, \theta} + 6e^{0} - 4e^{-2i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2e^{0} + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}

Comme

e^0 = 1

, on aboutit à :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{2i\, \theta} + 6 - 4e^{-2i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2 + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}

En développant l'ensemble, on trouve que :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} + 2e^{4i\, \theta} + e^{2i\, \theta} - 4e^{4i\, \theta} - 8e^{2i\, \theta} - 4 + 6e^{2i\, \theta} + 12 + 6e^{-2i\, \theta} - 4 - 8e^{-2i\, \theta} - 4e^{-4i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} + 2e^{-4i\, \theta} + e^{-6i\, \theta}}{64}

En simplifiant, on arrive à l'expression suivante :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} - 2e^{4i\, \theta} - e^{2i\, \theta} + 4 - e^{-2i\, \theta} - 2e^{-4i\, \theta} + e^{-6i\, \theta}}{64}

En factorisant, on trouve que :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} + e^{-6i\, \theta} - 2 \left( e^{4i\, \theta} + e^{-4i\, \theta} \right) - \left(e^{2i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right) + 4}{64}

Soit encore :

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{2\cos(6\theta) - 2 \left( 2\cos(4\theta) \right) - \left(2\cos(2\theta) \right) + 4}{64}

En simplifiant par

2

\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\cos(6\theta) - 2 \cos(4\theta) - \cos(2\theta) + 2}{32}

Finalement, on obtient la linéarisation suivante :

{\color{red}{\boxed{ \sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{1}{32}\cos(6\theta) - \dfrac{1}{16} \cos(4\theta) - \dfrac{1}{32}\cos(2\theta) + \dfrac{1}{16}}}}

Question 5

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^3(3\theta)\cos(\theta)$ .

Correction

On a :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \left( \dfrac{e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{2}\right)^3 \times \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right) = \dfrac{\left( e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta} \right)^3 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}

Soit :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( \left(e^{3i\, \theta}\right)^3 + 3\left(e^{3i\, \theta}\right)^2e^{-3i\, \theta} + 3 e^{3i\, \theta} \left(e^{-3i\, \theta}\right)^2 + \left(e^{-3i\, \theta}\right)^3 \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}

Ce qui nous donne donc :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( e^{9i\, \theta} + 3e^{6i\, \theta} e^{-3i\, \theta} + 3 e^{3i\, \theta} e^{-6i\, \theta} + e^{-9i\, \theta} \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}

Soit :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( e^{9i\, \theta} + 3e^{3i\, \theta} + 3 e^{-3i\, \theta} + e^{-9i\, \theta} \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}

En développant, on obtient :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{e^{10i\, \theta} + e^{8i\, \theta} + 3e^{4i\, \theta} + 3e^{-2i\, \theta} + 3e^{-2i\, \theta} + 3e^{-4i\, \theta} + e^{-8i\, \theta} + e^{-10i\, \theta}}{16}

En regroupant les différents termes, on obtient :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{e^{10i\, \theta} + e^{-10i\, \theta} + e^{8i\, \theta} + e^{-8i\, \theta} + 3 \left( e^{4i\, \theta} + e^{-4i\, \theta} \right) + 3 \left( e^{-2i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right)}{16}

Ce qui nous donne :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{2\cos(10\theta) + 2\cos(8\theta) + 3 \left( 2\cos(4\theta) \right) + 3 \left( 2\cos(2\theta) \right)}{16}

Ainsi :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{2\cos(10\theta) + 2\cos(8\theta) + 6\cos(4\theta) + 6\cos(2\theta)}{16}

En simplifiant par

2

, on a :

\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\cos(10\theta) + \cos(8\theta) + 3\cos(4\theta) + 3\cos(2\theta)}{8}

Finalement :

{\color{red}{\boxed{ \cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{1}{8}\cos(10\theta) + \dfrac{1}{8} \cos(8\theta) + \dfrac{3}{8}\cos(4\theta) + \dfrac{3}{8}\cos(2\theta) }}}

Linéariser les expressions de la forme cos⁡n(ax){\cos}^n\left(ax\right) cosn(ax) et sin⁡m(bx){\sin}^m\left(bx\right) sinm(bx) - Exercice 1

Soit xxx un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡2(x)\cos^2(x)cos2(x).

Soit θ\thetaθ un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡3(θ)\cos^3(\theta)cos3(θ).

Soit xxx un nombre réel. Linéariser l'expression sin⁡4(x)\sin^4(x)sin4(x).

Soit θ\thetaθ un nombre réel. Linéariser l'expression sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)\sin^4(\theta)\cos^2(\theta)sin4(θ)cos2(θ).

Soit θ\thetaθ un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)\cos^3(3\theta)\cos(\theta)cos3(3θ)cos(θ).

Linéariser les expressions de la forme ${\cos}^n\left(ax\right)$ et ${\sin}^m\left(bx\right)$ - Exercice 1

Soit $x$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^2(x)$ .

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^3(\theta)$ .

Soit $x$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\sin^4(x)$ .

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\sin^4(\theta)\cos^2(\theta)$ .

Soit $\theta$ un nombre réel. Linéariser l'expression $\cos^3(3\theta)\cos(\theta)$ .