Les racines carrées d'un nombres complexes

Les racines carrées d'un nombre complexe.

Définition.

Définition
Tout nombre complexe ZZ non nul admet deux racines carrées opposées.
Posons Z=a+ibZ=a+ib avec (a,b)∈R2\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2, on cherche z=x+iyz=x+iy avec (x,y)∈R2\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 tel que z2=Zz^2=Z .
Alors :
z2=Z⟺{a=x2−y2a2+b2=x2+y2b=2xyz^2 = Z \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{a^2 + b^2} & = & x^2 + y^2\\ \\ b & = & 2xy\end{array} \right.
Deˊmonstration :\pink{\text{Démonstration :}}
Soit ii le nombre complexe imaginaire tel que i2=1i^2=1. Une méthode simple pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe ZZ de forme algébrique Z=a+ibZ=a + ib (ou aa et bb sont des réels) est de poser z=x+iyz = x + iy (ou xx et yy sont des réels) puis de résoudre le système d'équations à deux inconnues qui en résulte :
Z=z2    ⟺    a+ib=(x+iy)2    ⟺    a+ib=x2−y2+i2xy    ⟺    {a=x2−y2b=2xyZ=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a+ib = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a+ib = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ b & = & 2xy\end{array} \right.
De plus, l'égalité initiale Z=z2Z=z^2 nous donne, en module, ∣Z∣=∣z2∣=∣z∣2|Z|=|z^2| = |z|^2. Ainsi on a :
a2+b2=x2+y22=x2+y2\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
{a=x2−y2a2+b2=x2+y2b=2xy\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{a^2 + b^2} & = & x^2 + y^2\\ \\ b & = & 2xy\end{array} \right.
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
a2+b2+a=2x2    ⟺    x=±a2+b2+a2\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}}
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
a2+b2−a=2y2    ⟺    y=±a2+b2−a2\sqrt{a^2 + b^2} - a = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}}
La troisième équation, à savoir b=2xyb = 2xy, doit être utiliser au travers du signe des deux membres. En effet :
signe(b)=signe(2xy)\text{signe}(b) = \text{signe}(2xy)
Mais comme 2>02>0, on a alors :
signe(b)=signe(xy)\text{signe}(b) = \text{signe}(xy)
Cette dernière condition permet de savoir si xx et yy sont de même signe (si b>0b > 0) ou de signes opposés (si b>0b > 0). C'est comme cela que les deux racines carrées zz se construisent par rapport aux deux choix des signes de xx et yy, et ces deux racines carrées sont opposées l'une de l'autre.
Le cas particulier b=0b=0 implique que Z=aZ = a est un réel pur. Auquel cas, il est évident que :
  • si a>0a>0 alors les deux racines carrées recherchées sont z=az = \sqrt{a} et z=−az = -\sqrt{a} ;
  • si a<0a<0 alors les deux racines carrées recherchées sont z=i−az = i\sqrt{-a} et z=−i−az = - i\sqrt{-a} ;
  • si a=0a=0 alors les deux racines carrées recherchées sont identiques, et on a z=0z = 0.