Equations et conjugués - Exercice 1

Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels. On note par $$z$$ le nombre complexe suivant :
$$z=x+i \, y$$
Dans ce cas :
$$\bar{z} = x -i \, y$$
Et :
$$z^2 = (x+i \, y)^2 = x^2+2ixy +(i\,y)^2 = x^2 - y^2 + i \, 2xy$$
Ce qui implique que si $$z$$ est solution de l'équation proposée, alors on doit avoir :
$$x^2 - y^2 + i \, 2xy + x -i \, y - 1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (x^2 - y^2 + x - 1) + i \, (2xy - y)= 0+i\, 0$$
En égalisant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x^2 - y^2 + x - 1 & = & 0 \\ & & \\ 2xy - y & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x^2 - y^2 + x - 1 & = & 0 \\ & & \\ 2y\left(x - \dfrac{1}{2}\right) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$
La deuxième équation conduit à deux possibilités. Soit $$y=0$$, soit $$x = \dfrac{1}{2}$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \,\,}}$$ si $$y=0$$ :
Dans ce cas, on obtient $$z=x \in \mathbb{R}$$, et on a l'équation suivante (issue de la première ligne du système précédent) :
$$x^2 + x - 1 = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \Delta = 5>0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \\ & & \\ x & = & \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \,\, = \,\, - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ \end{array} \right.$$
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \,\,}}$$ si $$x = \dfrac{1}{2}$$ :
Dans ce cas, on obtient $$z=\dfrac{1}{2} + i \, y \in \mathbb{C}$$, et on a l'équation suivante (issue du même système) :
$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - y^2 + \dfrac{1}{2} - 1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \dfrac{1}{4} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y^2 = \left( i \, \dfrac{1}{2} \right)^2\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \dfrac{i}{2} \in \mathbb{C}$$
Or, cela est impossible car $$y$$ est un nombre réel. Donc, les solutions possibles à cette équations sont :
$${\color{red}{\boxed{ z = - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \,\,\,\, \mathrm{ou} \,\,\,\, z = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}}$$

Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels. On note par $$z$$ le nombre complexe suivant :
$$z=x+i \, y$$
Dans ce cas :
$$\bar{z} = x -i \, y$$
Et :
$$z^2 = (x+i \, y)^2 = x^2+2ixy +(i\,y)^2 = x^2 - y^2 + i \, 2xy$$
Ce qui implique que si $$z$$ est solution de l'équation proposée, alors on doit avoir :
$$x^2 - y^2 + i \, 2xy -2( x -i \, y) + 1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (x^2 - y^2 - 2x + 1) + i \, (2xy + 2y)= 0+i\, 0$$
En égalisant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x^2 - y^2 - 2x + 1 & = & 0 \\ & & \\ 2xy + 2y & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x^2 - y^2 - 2x + 1 & = & 0 \\ & & \\ 2y\left(x +1\right) & = & 0 \\ \end{array} \right.$$
La deuxième équation conduit à deux possibilités. Soit $$y=0$$, soit $$x = -1$$.
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \,\,}}$$ si $$y=0$$ :
Dans ce cas, on obtient $$z=x \in \mathbb{R}$$, et on a l'équation suivante (issue de la première ligne du système précédent) :
$$x^2 -2x + 1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (x-1)^2=0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, x-1 = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, x=1$$
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \,\,}}$$ si $$x = -1$$ :
Dans ce cas, on obtient $$z=-1 + i \, y \in \mathbb{C}$$, et on a l'équation suivante (issue du même système) :
$$\left(-1\right)^2 - y^2 - 2\times (-1) + 1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y^2 = \left( 2 \right)^2\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 2 \in \mathbb{R}$$
Dans ce cas, les deux solutions complexes sont :
$$z = -1 - 2i \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = -1 + 2i$$
Finalement, les solutions de l'équation proposée sont au nombre de trois, et sont les suivantes :
$${\color{red}{\boxed{ z = 1 \in \mathbb{R} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = -1 - 2i \,\,\in \mathbb{C} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = -1 + 2i \,\,\in \mathbb{C} }}}$$

Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels. On note par $$z$$ le nombre complexe suivant :
$$z=x+i \, y$$
Dans ce cas :
$$\bar{z} = x -i \, y$$
Ce qui implique que si $$z$$ est solution de l'équation proposée, alors on doit avoir :
$$x+i \, y + 3(x-i \, y) - (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y| = 0$$
Soit :
$$x+i \, y + 3(x-i \, y) = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y|$$
Soit encore :
$$4x-2iy = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y|$$
De même :
$$4x+i(-2y) = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y|$$
Il s'agit d'une égalité de deux nombres complexes. Donc ces deux nombres complexes ont même module, et par conséquence directe il y a égalité des carrés de ces deux modules. On a alors :
$$\left\vert 4x+i(-2y) \right\vert^2 = \left\vert (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y| \right\vert^2$$
Donc :
$$\left\vert 4x+i(-2y) \right\vert^2 = \left\vert (2 + i \sqrt{3})\right\vert^2 |x+i \, y|^2$$
Ce qui nous donne :
$$(4x)^2 + (-2y)^2 = (2^2 + \sqrt{3}^2) \times (x^2 + y^2)$$
Ainsi :
$$16x^2 + 4y^2 = (4 + 3) \times (x^2 + y^2)$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$16x^2 + 4y^2 = 7 (x^2 + y^2) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 9x^2 = 3y^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 3x^2 = y^2$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$y = x \sqrt{3} \,\,$$ ou $$\,\, y = -x \sqrt{3}$$
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \,\, }}$$ Premier cas : $$y = x \sqrt{3}$$
Dans ce cas, l'équation $$4x+i(-2y) = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y|$$ devient :
$$4x+i(-2x \sqrt{3}) = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, x \sqrt{3}|$$
Soit :
$$2x \left( 2-i \, \sqrt{3} \right) = (2 + i \sqrt{3}) \left\vert x(1+i \, \sqrt{3})\right\vert$$
Soit encore :
$$2x \left( 2-i \, \sqrt{3} \right) = (2 + i \sqrt{3}) \left\vert 1+i \, \sqrt{3}\right\vert \, |\,x\,| \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 2x \left( 2-i \, \sqrt{3} \right) = \left(2 + i \sqrt{3} \right) \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} \, |\,x\,|$$
Avec $$\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$$ on obtient après simplification par $$2$$ :
$$x \left( 2-i \, \sqrt{3} \right) = (2 + i \sqrt{3}) \, |\,x\,|$$
Donc :
$$x = \dfrac{2 + i \sqrt{3}}{2-i \, \sqrt{3}}\, |\,x\,| \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \dfrac{\left(2 + i \sqrt{3}\right) \left(2 + i \sqrt{3}\right)}{\left(2-i \, \sqrt{3}\right) \left(2 + i \sqrt{3}\right)}\, |\,x\,| \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \dfrac{4-3+i \, 4\sqrt{3}}{2^2+\sqrt{3}^2}\, |\,x\,|$$
Ce qui nous donne :
$$x = \dfrac{1+i \, 4\sqrt{3}}{7}\, |\,x\,|$$
Or $$x$$ est un nombre réel, ce qui implique que $$\dfrac{1+i \, 4\sqrt{3}}{7}\, |\,x\,|$$ est également un nombre réel. Et de fait la partie imaginaire de $$\dfrac{1+i \, 4\sqrt{3}}{7}\, |\,x\,| = \dfrac{1}{7}\, |\,x\,| + i \dfrac{ 4 \sqrt{3}}{7}\, |\,x\,|$$ doit être nulle. On a alors :
$$\dfrac{ 4 \sqrt{3}}{7}\, |\,x\,| = 0$$
Comme $$\dfrac{ 4 \sqrt{3}}{7} \neq 0$$ alors cela signifie que $$\,x\,| = 0$$, ce qui nous conduit à $$x = 0$$. Ainsi, on en déduit que si $$y = x \sqrt{3}$$ et que $$x = 0$$, alors $$y = 0$$ et de fait $$z=0$$.
Les solutions recherchées sont dans ce cas :
$${\color{blue}{\boxed{z=0}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \,\, }}$$ Premier cas : $$y = -x \sqrt{3}$$
Dans ce cas, l'équation $$4x+i(-2y) = (2 + i \sqrt{3}) |x+i \, y|$$ devient :
$$4x+i \, 2x \sqrt{3} = \left(2 + i \sqrt{3} \right) |x-i \, x \sqrt{3}|$$
Soit :
$$2x \left( 2+i \, \sqrt{3} \right) = \left(2 + i \sqrt{3} \right) \left\vert 1-i \, \sqrt{3} \right\vert \, |\,x\,|$$
En simplifiant, on trouve que :
$$2x = \left\vert 1-i \, \sqrt{3} \right\vert \, |\,x\,|$$
Puis, on a également :
$$\left\vert 1-i \, \sqrt{3} \right\vert = \sqrt{1^2 +\left( -\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$
D'où :
$$x = |\,x\,|$$
Ainsi $$x$$ est un nombre réel positif. Puis, on a $$y = x\sqrt{3}$$. Ainsi les solutions recherchées dans ce cas:
$$\color{blue}{\boxed{ z = x + i \, x\sqrt{3} \,\,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, x\in \mathbb{R}^+}}$$
Finalement, l'équation initiale admet pour solution les nombres complexes $$z$$ de la forme suivante :
$$\color{red}{\boxed{ z = x \left( 1 + i \, \sqrt{3} \right) \,\,\,\,\, \mathrm{avec} \, : \,\, x\in \mathbb{R}^+}}$$