Equations du second degré - Exercice 2

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = (-2\cos(\theta))^2 - 4\times 1 \times 1 = 4\cos^2(\theta)-4 = 4 \left( \cos^2(\theta)-1 \right) = 4 \left( 1-\sin^2(\theta)-1 \right) = -4\sin^2(\theta) \leqslant 0$$
Cependant, on remarque que :
$$\Delta = i^2 \times 2^2 \times \sin^2(\theta) = (\pm1)^2 \times i^2 \times 2^2 \times \sin^2(\theta) = \left( \pm 2i \sin(\theta)\right)^2$$
Ainsi les deux racines carrées, notées $$\delta$$, du discriminant $$\Delta$$ sont :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 2i \sin(\theta) \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -2i \sin(\theta)}}$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-\left(- 2\cos(\theta)\right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-\left(- 2\cos(\theta)\right) - \delta }{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{2\cos(\theta) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{2\cos(\theta) - \delta }{2} \\ \end{array} \right.$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta = 2i \sin(\theta)$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{2\cos(\theta) + 2i \sin(\theta) }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{2\cos(\theta) - 2i \sin(\theta) }{2} \\ \end{array} \right.$$
En simplifiant par $$2 \neq 0$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \cos(\theta) + i \sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & \cos(\theta) - i \sin(\theta) \\ \end{array} \right.$$
La fonction cosinus étant paire, on a donc (pour $$\theta \in \mathbb{R}$$) $$\cos(\theta) = \cos(-\theta)$$. Puis la onction sinus étant impaire, on a donc (pour $$\theta \in \mathbb{R}$$) $$-\sin(\theta) = \sin(-\theta)$$. Ceci nous permet donc d'écrire :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \cos(\theta) + i \sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \\ \end{array} \right.$$
En faisant usage de la définition de l'exponentielle complexe, à savoir que pour tout réel $$X$$, on a $$e^{iX} = \cos(X) + i \sin(X)$$, on en déduit donc que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & e^{i \theta} \\ & & \\ z_2 & = & e^{-i \theta} \\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = e^{i \theta} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = e^{-i \theta}}}$$
On constate que si $$\theta = 0$$ alors $$\Delta = 0$$ (car $$\sin(0) = 0$$) et de fait on retrouve bien que $$z_1 = z_2 = e^0 = 1$$.

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = \left(2i+10 \right)^2 - 4\times i \times (14-21i) = 96+40i-84-56i=12-16i\neq 0$$
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- 2i-10 + \delta }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2i-10 - \delta}{2i} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\,$$
Le terme $$\delta$$ est une des deux racines carrées du discriminant $$\Delta$$, à savoir $$\delta^2 = \Delta$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, et on pose $$\delta = x + iy$$. On a alors :
$$\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 12-16i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 12-16i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 12 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -16 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$\Delta=\delta^2$$ nous donne, en module, $$|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{12^2 + (-16)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{144+1256} = \sqrt{400} = 20 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 12 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 20 & = & x^2 + y^2\\ \\ -16 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 12 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 20 & = & x^2 + y^2\\ \\ -8 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$32 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 16 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 4$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$8 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 2$$
La troisième équation, à savoir $$-8 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposés car $$-8<0$$. On a alors :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 4-2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -4+2i}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 4-2i$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i-10+4-2i }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2i-10 - (4-2i)}{2i} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-6-4i}{2i} & \dfrac{\left(-6-4i\right)\times i}{2i^2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-14}{2i} = & \dfrac{-14i}{2i^2}\\ \end{array} \right.$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1= -2+3i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= 7i}}$$