Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Equations du second degré - Exercice 1

40 min
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La résolution d'équation du second degré, à coefficients complexes, est une extension naturelle à ce qui a déjà été appris au Lycée.
On note par ii le nombre complexe imaginaire pur tel que i2=1i^2 = -1.
Ce nombre ii est parfois appelé l'unité imaginaire.
Résoudre, dans C\mathbb{C}, les équations qui vous sont proposées.
Question 1

z2(4+i)z+5+5i=0z^2-(4+i)z +5+5i= 0

Correction
Soit Δ\Delta le discriminant associé à cette équation. On a :
Δ=((4+i))24×1×(5+5i)=(4+i)24×(5+5i)=16+8i12020i=512i0\Delta = \left(- \left(4+i \right) \right)^2 - 4\times 1 \times (5+5i) = \left(4+i \right)^2 - 4 \times (5+5i) = 16 + 8i - 1 - 20 - 20i = -5 - 12i \neq 0
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient z1z_1 et z2z_2 les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
{z1=((4+i))+δ2z2=((4+i))δ2{z1=4+i+δ2z2=4+iδ2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(- \left(4+i \right) \right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(- \left(4+i \right) \right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{4+i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{4+i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.
Le terme δ\delta est une des deux racines carrées du discriminant Δ\Delta, à savoir δ2=Δ\delta^2 = \Delta. Soit xx et yy deux nombres réels, et on pose δ=x+iy\delta = x + iy. On a alors :
Δ=δ25+i(12)=(x+iy)25+i(12)=x2y2+i2xy{5=x2y212=2xy\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -5+i(-12) = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -5+i(-12) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -12 & = & 2xy\end{array} \right.
De plus, l'égalité initiale Δ=δ2\Delta=\delta^2 nous donne, en module, Δ=δ2=δ2|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2. Ainsi on a :
(5)2+(12)2=x2+y22=x2+y2\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2
Soit encore :
25+144=169=13=x2+y2\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 = x^2 + y^2
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
{5=x2y213=x2+y212=2xy{5=x2y213=x2+y26=xy\left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ -12 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ -6 & = & xy \end{array} \right.
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
8=2x24=x2x=±28 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 2
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
18=2y29=y2y=±318 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 3
La troisième équation, à savoir 6=xy-6 = xy nous permet de savoir que xx et yy sont deux nombres réels de signes opposés car 6<0-6<0. On a alors :
δ=23iouδ=2+3i\color{blue}{\boxed{\delta = 2-3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -2+3i}}
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour δ\delta sont opposées l'une de l'autre) δ=23i\delta= 2-3i. On a alors :
{z1=4+i+23i2z2=4+i(23i)2{z1=62i2z2=2+4i2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{4+i + 2-3i }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{4+i - (2-3i)}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{6-2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{2+4i}{2} \\ \end{array} \right.
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
z1=3ietz2=1+2i\color{red}{\boxed{z_1= 3-i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= 1+2i}}
Question 2

z2(514i)z2410i=0z^2-(5-14i)z - 24-10i= 0

Correction
Soit Δ\Delta le discriminant associé à cette équation. On a :
Δ=((514i))24×1×(2410i)=(514i)2+4×(24+10i)=25140i196+96+40i\Delta = \left(- \left(5-14i \right) \right)^2 - 4\times 1 \times (-24-10i) = \left(5-14i \right)^2 + 4 \times (24+10i) = 25 - 140i - 196 + 96 + 40i
Soit :
Δ=75100i0\Delta = -75 - 100i \neq 0
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient z1z_1 et z2z_2 les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
{z1=((514i))+δ2z2=((514i))δ2{z1=514i+δ2z2=514iδ2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(- \left(5-14i \right) \right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(- \left(5-14i \right) \right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{5-14i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{5-14i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.
Le terme δ\delta est une des deux racines carrées du discriminant Δ\Delta, à savoir δ2=Δ\delta^2 = \Delta. Soit xx et yy deux nombres réels, et on pose δ=x+iy\delta = x + iy. On a alors :
Δ=δ275+i(100)=(x+iy)275+i(100)=x2y2+i2xy{75=x2y2100=2xy\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+i(-100) = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+i(-100) = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -100 & = & 2xy\end{array} \right.
De plus, l'égalité initiale Δ=δ2\Delta=\delta^2 nous donne, en module, Δ=δ2=δ2|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2. Ainsi on a :
(75)2+(100)2=x2+y22=x2+y2\sqrt{(-75)^2 + (-100)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2
Soit encore :
5625+10000=15625=125=x2+y2\sqrt{5625+10000} = \sqrt{15625} = 125 = x^2 + y^2
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
{75=x2y2125=x2+y2100=2xy{75=x2y2125=x2+y250=xy\left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 125 & = & x^2 + y^2\\ \\ -100 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 125 & = & x^2 + y^2\\ \\ -50 & = & xy \end{array} \right.
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
50=2x225=x2x=±550 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 25 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 5
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
200=2y2100=y2y=±10200 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 100 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 10
La troisième équation, à savoir 50=xy-50 = xy nous permet de savoir que xx et yy sont deux nombres réels de signes opposés car 50<0-50<0. On a alors :
δ=510iouδ=5+10i\color{blue}{\boxed{\delta = 5-10i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -5+10i}}
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour δ\delta sont opposées l'une de l'autre) δ=510i\delta= 5-10i. On a alors :
{z1=514i+510i2z2=514i(510i)2{z1=1024i2z2=04i2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{5-14i + 5-10i }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{5-14i - (5-10i)}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{10-24i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{0-4i}{2} \\ \end{array} \right.
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
z1=512ietz2=2i\color{red}{\boxed{z_1= 5-12i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= -2i}}
Question 3

(4+2i)z2+(7i)z+1+3i=0-(4+2i)z^2 + (7-i)z + 1 + 3i= 0

Correction
Soit Δ\Delta le discriminant associé à cette équation. On a :
Δ=(7i)24×((4+2i))×(1+3i)=(7i)2+4×(4+2i)×(1+3i)=4914i1+16+48i+8i24\Delta = (7-i)^2 - 4\times (-(4+2i)) \times (1+3i) = (7-i)^2 + 4\times (4+2i) \times (1+3i) = 49 - 14i - 1 + 16 + 48i + 8i -24
Soit :
Δ=40+42i0\Delta = 40 + 42i \neq 0
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient z1z_1 et z2z_2 les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
{z1=(7i)+δ2(4+2i)z2=(7i)δ2(4+2i){z1=7+i+δ2(4+2i)z2=7+iδ2(4+2i)\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(7-i\right) + \delta }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(7-i\right) - \delta}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-7+i + \delta }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-7+i - \delta}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right.
Le terme δ\delta est une des deux racines carrées du discriminant Δ\Delta, à savoir δ2=Δ\delta^2 = \Delta. Soit xx et yy deux nombres réels, et on pose δ=x+iy\delta = x + iy. On a alors :
Δ=δ240+42i=(x+iy)240+42i=x2y2+i2xy{40=x2y242=2xy\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 40 + 42i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 40 + 42i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 42 & = & 2xy\end{array} \right.
De plus, l'égalité initiale Δ=δ2\Delta=\delta^2 nous donne, en module, Δ=δ2=δ2|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2. Ainsi on a :
402+422=x2+y22=x2+y2\sqrt{40^2 + 42^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2
Soit encore :
1600+1764=3364=58=x2+y2\sqrt{1600+1764} = \sqrt{3364} = 58 = x^2 + y^2
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
{40=x2y258=x2+y242=2xy{40=x2y258=x2+y224=xy\left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 58 & = & x^2 + y^2\\ \\ 42 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 40 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 58 & = & x^2 + y^2\\ \\ 24 & = & xy \end{array} \right.
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
98=2x249=x2x=±798 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 49 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 7
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
18=2y29=y2y=±318 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 3
La troisième équation, à savoir 24=xy24 = xy nous permet de savoir que xx et yy sont deux nombres réels de même signe car 24>024>0. On a alors :
δ=7+3iouδ=73i\color{blue}{\boxed{\delta = 7+3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -7-3i}}
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour δ\delta sont opposées l'une de l'autre) δ=7+3i\delta= 7+3i. On a alors :
{z1=7+i+7+3i2(4+2i)z2=7+i(7+3i)2(4+2i){z1=0+4i2(4+2i)z2=142i2(4+2i){z1=2i4+2iz2=7+i4+2i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-7+i + 7+3i }{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-7+i - (7+3i)}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{0+4i}{-2(4+2i)} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-14-2i}{-2(4+2i)} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \\ \end{array} \right.
Prenons maintenant l'expression conjuguée du dénominateur. On a alors :
{z1=2i4+2i×1z2=7+i4+2i×1{z1=2i4+2i×42i42iz2=7+i4+2i×42i42i{z1=2i(42i)16+4z2=(7+i)(42i)16+4\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \times 1 \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \times 1 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{7+i}{4+2i} \times \dfrac{4-2i}{4-2i} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2i(4-2i)}{16+4} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{(7+i)(4-2i)}{16+4} \\ \end{array} \right.
Ainsi :
{z1=8i420z2=2814i+4i+220{z1=12i5z2=3010i20{z1=12i5z2=3i2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-8i-4}{20} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{28-14i+4i+2}{20} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-2i}{5} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{30-10i}{20} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-2i}{5} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{3-i}{2} \\ \end{array} \right.
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
z1=1+2i5etz2=3i2\color{red}{\boxed{z_1 = -\dfrac{1+2i}{5} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = \dfrac{3-i}{2}}}
Question 4

z2+(1+4i)z5i=0z^2+(1+4i)z -5-i= 0

Correction
Soit Δ\Delta le discriminant associé à cette équation. On a :
Δ=(1+4i)24×(5i)\Delta = (1+4i)^2 - 4\times (-5-i)
Δ=1+8i16+20+4i\Delta = 1+8i-16+20+4i
Soit :
Δ=5+12i0\Delta = 5+12i \neq 0
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient z1z_1 et z2z_2 les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
{z1=(1+4i)+δ2z2=(1+4i)δ2{z1=14i+δ2z2=14iδ2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left(1+4i\right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left(1+4i\right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-4i + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1-4i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.
Le terme δ\delta est une des deux racines carrées du discriminant Δ\Delta, à savoir δ2=Δ\delta^2 = \Delta. Soit xx et yy deux nombres réels, et on pose δ=x+iy\delta = x + iy. On a alors :
Δ=δ25+12i=(x+iy)25+12i=x2y2+i2xy{5=x2y212=2xy\Delta=\delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5+12i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 5+12i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 5& = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 12 & = & 2xy\end{array} \right.
De plus, l'égalité initiale Δ=δ2\Delta=\delta^2 nous donne, en module, Δ=δ2=δ2|\Delta|=|\delta^2| = |\delta|^2. Ainsi on a :
52+122=x2+y22=x2+y2\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2
Soit encore :
25+144=169=13=x2+y2\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 = x^2 + y^2
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
{5=x2y213=x2+y212=2xy{5=x2y213=x2+y26=xy\left\lbrace \begin{array}{rcl} 5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ 12 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 5 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 13 & = & x^2 + y^2\\ \\ 6 & = & xy \end{array} \right.
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
18=2x29=x2x=±318 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 3
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
8=2y24=y2y=±28 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 2
La troisième équation, à savoir 6=xy6= xy nous permet de savoir que xx et yy sont deux nombres réels de même signe car 6>06>0. On a alors :
δ=3+2iouδ=32i\color{blue}{\boxed{\delta = 3+2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -3-2i}}
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour δ\delta sont opposées l'une de l'autre) δ=3+2i\delta= 3+2i. On a alors :
{z1=14i+3+2i2z2=14i32i2{z1=22i2z2=46i2{z1=1iz2=23i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1-4i+3+2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1-4i-3-2i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{2-2i}{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-4-6i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 1-i \\ & & \\ z_2 & = & -2-3i \\ \end{array} \right.
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
z1=1ietz2=23i\color{red}{\boxed{z_1 = 1-i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = -2-3i}}
Question 5

iz2(2+i)z1i=0iz^2-(-2+i)z -1-i= 0

Correction
Soit Δ\Delta le discriminant associé à cette équation. On a :
Δ=((2+i))24×i×(1i)\Delta = \left(-(-2+i)\right)^2 - 4\times i\times (-1-i)
Δ=44i1+4i+4i2\Delta = 4-4i-1+4i+4i^2
Soit :
Δ=10\Delta = -1 \neq 0
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient z1z_1 et z2z_2 les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
{z1=2+i+δ2iz2=2+iδ2\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+i + \delta }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2+i - \delta}{2} \\ \end{array} \right.
Le terme δ\delta est une des deux racines carrées du discriminant Δ\Delta, à savoir δ2=Δ\delta^2 = \Delta.
Ici, on constate rapidement que : δ=iouδ=i\color{blue}{\boxed{\delta = i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -i}}
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour δ\delta sont opposées l'une de l'autre) δ=i\delta=i. On a alors :
Il en résulte donc que :
{z1=2+i+i2iz2=2+ii2i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+i+i }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2+i - i}{2i} \\ \end{array} \right.
{z1=2+2i2iz2=22i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-2+2i }{2i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-2}{2i} \\ \end{array} \right.
{z1=1+iiz2=1i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{-1+i }{i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1}{i} \\ \end{array} \right.
{z1=(1+i)×ii×iz2=1×ii×i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{\left(-1+i\right)\times i }{i\times i} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{-1\times i}{i\times i} \\ \end{array} \right.
{z1=1+iz2=i\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 1+i \\ & & \\ z_2 & = & i \\ \end{array} \right.
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
z1=1+ietz2=i\color{red}{\boxed{z_1 = 1+i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = i}}