Comme en devoir ! - Exercice 1

Donner la forme algébrique du nombre complexe $$z = \dfrac{1}{2+i} - \dfrac{1}{3-i}$$

Déterminer la forme algébrique des racines carrées de $$z = 6-3i$$.

Résoudre dans $$\mathbb{C}$$ l'équation $$i \, z^3 -(1+i)z^2 + (1-2i)z +6+8i = 0$$ sachant qu'elle possède une solution réelle.

Soit $$a$$ un nombre réel différent de $$\dfrac{\pi}{2} + k \pi$$, avec $$k \in \mathbb{Z}$$. Donner la forme polaire du nombre complexe $$z = \dfrac{1+ i \, \tan(a)}{1- i \, \tan(a)}$$

Donner la forme rectangulaire, puis polaire, du nombre complexe $$z = \sum_{k=0}^{n} i^k$$.

Résoudre l'équation $$z^5 = z - \bar{z}$$.

Résoudre dans $$\mathbb{C}$$ l'équation $$z^4 = -8+8i\sqrt{3}$$

Soit $$a$$ un nombre réel et $$n$$ un nombre entier naturel non nul. Résoudre dans $$\mathbb{C}$$ l'équation suivante :
$$\left( \dfrac{1 + iz}{1 - iz} \right)^n = \dfrac{1 + ia}{1 - ia}$$

Soit $$x$$ un nombre réel. Linéariser l'expression $$\cos^4(x) \sin^3(x)$$.

Soit $$z$$ un nombre complexe tel que $$z + |z| = 2+8i$$. Calculer $$|z|^2$$.

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul, et $$x$$ un nombre réel. Résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \left( z+i\,t \right)^n + \left( z-i\,t \right)^n & = & 2 \cos(x) \\ & & \\ z^2 + t^2 & = & 1 \\\end{array}\right.$$
Dans ce système, $$z$$ et $$t$$ sont deux nombres complexes inconnus.

Soit $$z_1$$, $$z_2$$ et $$z_3$$ trois nombres complexes de module égal à l'unité, et $$z_1$$ ne peut-être égal à $$z_3$$. Démontrer que le nombre complexe $$z = \dfrac{z_1}{z_2} \times \dfrac{(z_3 - z_2)^2}{(z_3 - z_1)^2}$$ est un réel positif.