🔴  Lives #BAC2024

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Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Comme en devoir ! - Exercice 1

2 h
165
Allez, vous êtes maintenant près à vous mettre en conditions d'examination. Comme en devoir sur table !
Question 1
Répondre au question qui vous sont proposées.

Donner la forme algébrique du nombre complexe z=12+i13iz = \dfrac{1}{2+i} - \dfrac{1}{3-i}

Correction
-
Question 2

Déterminer la forme algébrique des racines carrées de z=63iz = 6-3i.

Correction
Question 3

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation iz3(1+i)z2+(12i)z+6+8i=0i \, z^3 -(1+i)z^2 + (1-2i)z +6+8i = 0 sachant qu'elle possède une solution réelle.

Correction
Question 4

Soit aa un nombre réel différent de π2+kπ\dfrac{\pi}{2} + k \pi, avec kZk \in \mathbb{Z}. Donner la forme polaire du nombre complexe z=1+itan(a)1itan(a)z = \dfrac{1+ i \, \tan(a)}{1- i \, \tan(a)}

Correction
Question 5

Donner la forme rectangulaire, puis polaire, du nombre complexe z=k=0nikz = \sum_{k=0}^{n} i^k.

Correction
Question 6

Résoudre l'équation z5=zzˉz^5 = z - \bar{z}.

Correction
Question 7

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z4=8+8i3z^4 = -8+8i\sqrt{3}

Correction
Question 8

Soit aa un nombre réel et nn un nombre entier naturel non nul. Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation suivante :
(1+iz1iz)n=1+ia1ia\left( \dfrac{1 + iz}{1 - iz} \right)^n = \dfrac{1 + ia}{1 - ia}

Correction
Question 9

Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression cos4(x)sin3(x)\cos^4(x) \sin^3(x).

Correction
Question 10

Soit zz un nombre complexe tel que z+z=2+8iz + |z| = 2+8i. Calculer z2|z|^2.

Correction
Question 11

Soit nn un nombre entier naturel non nul, et xx un nombre réel. Résoudre, dans C\mathbb{C}, le système suivant :
{(z+it)n+(zit)n=2cos(x)z2+t2=1\left\lbrace \begin{array}{rcl} \left( z+i\,t \right)^n + \left( z-i\,t \right)^n & = & 2 \cos(x) \\ & & \\ z^2 + t^2 & = & 1 \\\end{array}\right.
Dans ce système, zz et tt sont deux nombres complexes inconnus.

Correction
Question 12

Soit z1z_1, z2z_2 et z3z_3 trois nombres complexes de module égal à l'unité, et z1z_1 ne peut-être égal à z3z_3. Démontrer que le nombre complexe z=z1z2×(z3z2)2(z3z1)2z = \dfrac{z_1}{z_2} \times \dfrac{(z_3 - z_2)^2}{(z_3 - z_1)^2} est un réel positif.

Correction