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Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)
Calculer les sommes trigonométriques - Exercice 3
15 min
30
Question 1
Soit
θ
∉
2
π
Z
\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}
θ
∈
/
2
π
Z
Calculer :
A
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
e
i
k
θ
A=\sum^n_{k=0}{\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)e^{ik\theta }}
A
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
e
ik
θ
.
Correction
A
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
e
i
k
θ
A=\sum^n_{k=0}{\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)e^{ik\theta }}
A
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
e
ik
θ
équivaut successivement à :
A
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
e
i
θ
)
k
A=\sum^n_{k=0}{\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right){\left(e^{i\theta }\right)}^k}
A
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
(
e
i
θ
)
k
A
=
∑
k
=
0
n
(
(
n
k
)
(
e
i
θ
)
k
×
1
n
−
k
)
A=\sum^n_{k=0}{\left(\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right){\left(e^{i\theta }\right)}^k{\times 1}^{n-k}\right)}
A
=
k
=
0
∑
n
(
(
n
k
)
(
e
i
θ
)
k
×
1
n
−
k
)
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Formule du bin
o
ˆ
me de Newton
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux nombres complexes. Pour tout entier naturel
n
n
n
, on a :
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
(
a
+
b
)
n
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
A
=
(
1
+
e
i
θ
)
n
A={\left(1+e^{i\theta }\right)}^n
A
=
(
1
+
e
i
θ
)
n
Factorisation par l’angle moitié.
Soient
α
\alpha
α
et
β
\beta
β
deux réels.
1
+
e
i
β
=
e
i
(
β
2
)
(
e
i
β
2
+
e
−
i
β
2
)
=
2
e
i
(
β
2
)
c
o
s
(
β
2
)
1+e^{i\beta }=e^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}\left(e^{i\frac{\beta }{2}}+e^{-i\frac{\beta }{2}}\right)=2e^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }
1
+
e
i
β
=
e
i
(
2
β
)
(
e
i
2
β
+
e
−
i
2
β
)
=
2
e
i
(
2
β
)
cos
(
2
β
)
A
=
(
e
i
θ
2
(
e
−
i
θ
2
+
e
i
θ
2
)
)
n
A={\left(e^{i\frac{\theta }{2}}\left(e^{-i\frac{\theta }{2}}+e^{i\frac{\theta }{2}}\right)\right)}^n
A
=
(
e
i
2
θ
(
e
−
i
2
θ
+
e
i
2
θ
)
)
n
A
=
(
e
i
θ
2
(
2
c
o
s
(
θ
2
)
)
)
n
A={\left(e^{i\frac{\theta }{2}}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }\right)\right)}^n
A
=
(
e
i
2
θ
(
2
cos
(
2
θ
)
)
)
n
A
=
e
i
n
θ
2
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
A=e^{i\frac{n\theta }{2}}\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
A
=
e
i
2
n
θ
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)
Finalement :
A
=
(
c
o
s
(
n
θ
2
)
+
i
s
i
n
(
n
θ
2
)
)
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
A=\left({\mathrm{cos} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\right)\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
A
=
(
cos
(
2
n
θ
)
+
i
sin
(
2
n
θ
)
)
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)
Question 2
En déduire :
B
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
k
θ
)
B=\sum^n_{k=0}{\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)\cos\left(k\theta\right)}
B
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
cos
(
k
θ
)
où
θ
∉
2
π
Z
\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}
θ
∈
/
2
π
Z
.
Correction
On remarque que
B
B
B
est la partie réelle de la somme
A
A
A
.
Ainsi :
B
=
Re
(
A
)
B= \text{Re} \left(A\right)
B
=
Re
(
A
)
D'après la question
1
1
1
, nous avons montré que :
A
=
(
c
o
s
(
n
θ
2
)
+
i
s
i
n
(
n
θ
2
)
)
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
A=\left({\mathrm{cos} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\right)\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
A
=
(
cos
(
2
n
θ
)
+
i
sin
(
2
n
θ
)
)
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)
Il en résulte donc que :
B
=
c
o
s
(
n
θ
2
)
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
B={\mathrm{cos} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
B
=
cos
(
2
n
θ
)
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)
Question 3
En déduire :
C
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
sin
(
k
θ
)
C=\sum^n_{k=0}{\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)\sin\left(k\theta\right)}
C
=
k
=
0
∑
n
(
n
k
)
sin
(
k
θ
)
où
θ
∉
2
π
Z
\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}
θ
∈
/
2
π
Z
.
Correction
On remarque que
C
C
C
est la partie imaginaire de la somme
A
A
A
.
Ainsi :
C
=
Re
(
A
)
C= \text{Re} \left(A\right)
C
=
Re
(
A
)
D'après la question
1
1
1
, nous avons montré que :
A
=
(
c
o
s
(
n
θ
2
)
+
i
s
i
n
(
n
θ
2
)
)
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
A=\left({\mathrm{cos} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\right)\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
A
=
(
cos
(
2
n
θ
)
+
i
sin
(
2
n
θ
)
)
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)
Il en résulte donc que :
C
=
s
i
n
(
n
θ
2
)
×
2
n
×
c
o
s
n
(
θ
2
)
C={\mathrm{sin} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\times 2^n\times {\mathrm{cos}^n \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }
C
=
sin
(
2
n
θ
)
×
2
n
×
cos
n
(
2
θ
)