Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Calculer les sommes trigonométriques - Exercice 2

15 min
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Question 1

Soient aa et bb deux réels avec b∉2πZb \notin 2\pi\mathbb{Z}. Calculer S1=∑k=0ncos(a+kb) S_1=\sum^n_{k=0}{{\mathrm{cos} \left(a+kb\right)\ }} .

Correction
S1=∑k=0ncos(a+kb) S_1=\sum^n_{k=0}{{\mathrm{cos} \left(a+kb\right)\ }}
Introduisons la somme : S2=∑k=0nei(a+kb)S_2=\sum^n_{k=0}{e^{i\left(a+kb\right)}}
On remarque que S1S_1 est la partie réelle de la somme S2S_2 . Ainsi : S1=Re(S2)S_1= \text{Re} \left(S_2\right) .
Calculons maintenant S2S_2.
S2=∑k=0neiaeikbS_2=\sum^n_{k=0}{e^{ia}e^{ikb}}
S2=eia∑k=0neikbS_2=e^{ia}\sum^n_{k=0}{e^{ikb}}
S2=eia∑k=0neikbS_2=e^{ia}\sum^n_{k=0}{e^{ikb}}
S2=eia∑k=0n(eib)kS_2=e^{ia}\sum^n_{k=0}{{\left(e^{ib}\right)}^k}
La somme des termes d'une suite géométrique de raison qq est donnée par la formule suivante :
S=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
S2=eia×1×1−(eib)n+11−eibS_2=e^{ia}\times 1\times \frac{1-{\left(e^{ib}\right)}^{n+1}}{1-e^{ib}}
S2=eia×1−ei(n+1)b1−eibS_2=e^{ia}\times \frac{1-e^{i\left(n+1\right)b}}{1-e^{ib}}
Factorisation par l’angle moitié. Soient α\alpha et β\beta deux réels.
  • 1+eiβ=ei(β2)(eiβ2+e−iβ2)=2ei(β2)cos(β2) 1+e^{i\beta }=e^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}\left(e^{i\frac{\beta }{2}}+e^{-i\frac{\beta }{2}}\right)=2e^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }
  • 1−eiβ=ei(β2)(eiβ2−e−iβ2)=2iei(β2)sin(β2) 1-e^{i\beta }=e^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}\left(e^{i\frac{\beta }{2}}-e^{-i\frac{\beta }{2}}\right)=2ie^{i\left(\frac{\beta }{2}\right)}{\mathrm{sin} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }
  • eiα+eiβ=ei(α+β2)(ei(α−β2)+e−i(α−β2))=2ei(α+β2)cos(α−β2) e^{i\alpha }+e^{i\beta }=e^{i\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}\right)=2e^{i\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{\mathrm{cos} \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\ }
  • eiα−eiβ=ei(α+β2)(ei(α−β2)−e−i(α−β2))=2iei(α+β2)sin(α−β2) e^{i\alpha }-e^{i\beta }=e^{i\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}-e^{-i\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}\right)=2ie^{i\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{\mathrm{sin} \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\ }
    • S2=eia×ei(n+1)b2(ei(n+1)b2−e−i(n+1)b2)eib2(eib2−e−ib2)S_2=e^{ia}\times \frac{e^{i\frac{\left(n+1\right)b}{2}}\left(e^{i\frac{\left(n+1\right)b}{2}}-e^{-i\frac{\left(n+1\right)b}{2}}\right)}{e^{i\frac{b}{2}}\left(e^{i\frac{b}{2}}-e^{-i\frac{b}{2}}\right)}
    S2=eia×ei(n+1)b2(2isin((n+1)b2) )eib2(2isin(b2) )S_2=e^{ia}\times \frac{e^{i\frac{\left(n+1\right)b}{2}}\left(2i{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }\right)}{e^{i\frac{b}{2}}\left(2i{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }\right)}
    S2=eia×ei((n+1)b2−b2)(sin((n+1)b2) )sin(b2) S_2=e^{ia}\times \frac{e^{i\left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}-\frac{b}{2}\right)}\left({\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }\right)}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}
    S2=eia×ei(nb2)(sin((n+1)b2) )sin(b2) S_2=e^{ia}\times \frac{e^{i\left(\frac{nb}{2}\right)}\left({\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }\right)}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}
    S2=ei(a+nb2)sin((n+1)b2) sin(b2) S_2=e^{i\left(a+\frac{nb}{2}\right)}\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}
    Enfin :
    S2=(cos(a+nb2) +isin(a+nb2) )sin((n+1)b2) sin(b2) S_2=\left({\mathrm{cos} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }\right)\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}

    N'oublions pas que nous souhaitons calculer S1=∑k=0ncos(a+kb) S_1=\sum^n_{k=0}{{\mathrm{cos} \left(a+kb\right)\ }} et nous savons que S1=Re(S2)S_1= \text{Re} \left(S_2\right) .
    Ainsi :
    ∑k=0ncos(a+kb) =cos(a+nb2) sin((n+1)b2) sin(b2) \sum^n_{k=0}{{\mathrm{cos} \left(a+kb\right)\ }}={\mathrm{cos} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}

    Question 2

    Soient aa et bb deux réels avec b∉2πZb \notin 2\pi\mathbb{Z}. Calculer S3=∑k=0nsin(a+kb) S_3=\sum^n_{k=0}{{\mathrm{sin} \left(a+kb\right)\ }} .

    Correction
    S3=∑k=0nsin(a+kb) S_3=\sum^n_{k=0}{{\mathrm{sin} \left(a+kb\right)\ }}
    On remarque que S3S_3 est la partie imaginaire de la somme S2S_2 .
    Ainsi : S3=Im(S2)S_3= \text{Im} \left(S_2\right) où S2=(cos(a+nb2) +isin(a+nb2) )sin((n+1)b2) sin(b2) S_2=\left({\mathrm{cos} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }\right)\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }} que nous avons calculé à la question précédente.
    Finalement :
    ∑k=0nsin(a+kb) =sin(a+nb2) sin((n+1)b2) sin(b2) \sum^n_{k=0}{{\mathrm{sin} \left(a+kb\right)\ }}={\mathrm{sin} \left(a+\frac{nb}{2}\right)\ }\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)b}{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{b}{2}\right)\ }}