Calculer les sommes trigonométriques - Exercice 1

Soit $$\theta$$ un réel .
Premier cas : Si $$\theta \in 2\pi\mathbb{Z}$$
$$S_1 = \sum_{k=0}^n e^{ik\times 0}$$ équivaut successivement à :
$$S_1 = \sum_{k=0}^n 1$$
D'où : Deuxième cas : Si $$\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}$$ $$S_1 = \sum_{k=0}^n e^{ik\theta }$$ équivaut successivement à :
$$S_1 = \sum_{k=0}^n \left(e^{i\theta}\right)^k$$
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=e^{i\theta}$$ et de premier terme $$e^{i0}=1$$ .
Il vient alors que :
$$S_1 =1\times\frac{1-{\left(e^{i\theta}\right)}^{n+1}}{1-e^{i\theta}}$$
$$S_1 =\frac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}$$

$$S_1=\frac{e^{i\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}}\left(e^{i\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}}-e^{-i\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}}\right)}{e^{i\frac{\theta }{2}}\left(e^{i\frac{\theta }{2}}-e^{-i\frac{\theta }{2}}\right)}$$
$$S_1=\frac{e^{i\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}}\left(2i{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}\right)\ }\right)}{e^{i\frac{\theta }{2}}\left(2i{\mathrm{sin} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }\right)}$$
$$S_1=\frac{e^{i\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}}\left({\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}\right)\ }\right)}{e^{i\frac{\theta }{2}}\left({\mathrm{sin} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }\right)}$$
$$S_1=\frac{e^{i\left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}-\frac{\theta }{2}\right)}\left({\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}\right)\ }\right)}{{\mathrm{sin} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }}$$
$$S_1=e^{i\left(\frac{n\theta }{2}\right)}\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }}$$
$$S_1=\left({\mathrm{cos} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(\frac{n\theta }{2}\right)\ }\right)\frac{{\mathrm{sin} \left(\frac{\left(n+1\right)\theta }{2}\right)\ }}{{\mathrm{sin} \left(\frac{\theta }{2}\right)\ }}$$
Finalement :

On remarque que $$S_2$$ est la partie réelle de la somme $$S_1$$ .
En effet :
$$S_1 = \sum_{k=0}^n e^{ik\theta }$$
$$S_1 = \sum_{k=0}^n \left(\cos\left(k\theta\right)+i\sin\left(k\theta\right)\right)$$
$$S_1 = \sum_{k=0}^n \cos\left(k\theta\right) +i\sum_{k=0}^n \sin\left(k\theta\right)$$
Ainsi : $$S_2= \text{Re} \left(S_1\right)$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que :
Il en résulte donc que :

On remarque que $$S_3$$ est la partie imaginaire de la somme $$S_1$$ .
En effet :
$$S_1 = \sum_{k=0}^n e^{ik\theta }$$
$$S_1 = \sum_{k=0}^n \left(\cos\left(k\theta\right)+i\sin\left(k\theta\right)\right)$$
$$S_1 = \sum_{k=0}^n \cos\left(k\theta\right) +i\sum_{k=0}^n \sin\left(k\theta\right)$$
Ainsi : $$S_3= \text{Im} \left(S_1\right)$$
D'après la question $$1$$, nous avons montré que :
Il en résulte donc que :