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Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)
Calculer les expressions de la forme
c
o
s
(
n
θ
)
{\mathrm{cos} \left(n\theta \right)\ }
cos
(
n
θ
)
et de
s
i
n
(
n
θ
)
{\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ }
sin
(
n
θ
)
en fonction des puissances de
c
o
s
(
θ
)
{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }
cos
(
θ
)
ou de
s
i
n
(
n
θ
)
{\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ }
sin
(
n
θ
)
- Exercice 2
10 min
20
Question 1
Exprimer
cos
(
4
x
)
\cos\left(4x\right)
cos
(
4
x
)
en fonction de
cos
(
x
)
\cos\left(x\right)
cos
(
x
)
et de
sin
(
x
)
\sin\left(x\right)
sin
(
x
)
.
Correction
Pour tout réel
x
x
x
, on a :
e
4
i
x
=
cos
(
4
x
)
+
i
sin
(
4
x
)
e^{4ix}=\cos\left(4x\right)+i\sin\left(4x\right)
e
4
i
x
=
cos
(
4
x
)
+
i
sin
(
4
x
)
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
Il en résulte donc que :
e
4
i
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
e^{4ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
e
4
i
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
Ainsi :
cos
(
4
x
)
=
Re
(
e
4
i
x
)
\cos\left(4x\right)=\text{Re}\left(e^{4ix}\right)
cos
(
4
x
)
=
Re
(
e
4
i
x
)
Nous allons commencer par développer
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
.
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
+
6
cos
2
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
2
+
4
cos
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
3
+
(
i
sin
(
x
)
)
4
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)+6{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+4\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
+
6
cos
2
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
2
+
4
cos
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
3
+
(
i
sin
(
x
)
)
4
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
−
4
i
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-4i\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
−
4
i
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
+
i
(
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
)
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)+i\left(4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)\right)
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
+
i
(
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
)
Comme :
cos
(
4
x
)
=
Re
(
e
4
i
x
)
\cos\left(4x\right)=\text{Re}\left(e^{4ix}\right)
cos
(
4
x
)
=
Re
(
e
4
i
x
)
Finalement :
cos
(
4
x
)
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
)
\cos\left(4x\right)={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right))
cos
(
4
x
)
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
)
Question 2
Exprimer
sin
(
4
x
)
\sin\left(4x\right)
sin
(
4
x
)
en fonction de
cos
(
x
)
\cos\left(x\right)
cos
(
x
)
et de
sin
(
x
)
\sin\left(x\right)
sin
(
x
)
.
Correction
Pour tout réel
x
x
x
, on a :
e
4
i
x
=
cos
(
4
x
)
+
i
sin
(
4
x
)
e^{4ix}=\cos\left(4x\right)+i\sin\left(4x\right)
e
4
i
x
=
cos
(
4
x
)
+
i
sin
(
4
x
)
La formule de Moivre
\red{\text{La formule de Moivre}}
La formule de Moivre
Pour tout
x
∈
R
{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}
x
∈
R
et pour tout entier naturel
n
{\color{red}{n}}
n
, on a :
c
o
s
(
n
x
)
+
i
s
i
n
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
n
{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
e
i
n
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
Il en résulte donc que :
e
4
i
x
=
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
e^{4ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
e
4
i
x
=
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
Ainsi :
sin
(
4
x
)
=
Im
(
e
4
i
x
)
\sin\left(4x\right)=\text{Im}\left(e^{4ix}\right)
sin
(
4
x
)
=
Im
(
e
4
i
x
)
Nous allons commencer par développer
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
.
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
+
6
cos
2
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
2
+
4
cos
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
3
+
(
i
sin
(
x
)
)
4
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)+6{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+4\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
+
6
cos
2
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
2
+
4
cos
(
x
)
(
i
sin
(
x
)
)
3
+
(
i
sin
(
x
)
)
4
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
−
4
i
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-4i\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
+
4
i
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
−
4
i
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
(
c
o
s
(
x
)
+
i
s
i
n
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
+
i
(
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
)
{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)+i\left(4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)\right)
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
4
=
cos
4
(
x
)
−
6
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
+
sin
4
(
x
)
+
i
(
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
)
Comme :
sin
(
4
x
)
=
Im
(
e
4
i
x
)
\sin\left(4x\right)=\text{Im}\left(e^{4ix}\right)
sin
(
4
x
)
=
Im
(
e
4
i
x
)
Finalement :
sin
(
4
x
)
=
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)
\sin\left(4x\right)=4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)
sin
(
4
x
)
=
4
cos
3
(
x
)
sin
(
x
)
−
4
cos
(
x
)
sin
3
(
x
)