Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Calculer les expressions de la forme cos(nθ) {\mathrm{cos} \left(n\theta \right)\ } et de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } en fonction des puissances de cos(θ) {\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ } ou de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } - Exercice 1

12 min
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Question 1

Exprimer cos⁡(3x)\cos\left(3x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

Correction
Pour tout réel xx, on a : e3ix=cos⁡(3x)+isin⁡(3x)e^{3ix}=\cos\left(3x\right)+i\sin\left(3x\right)
    La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e3ix=(cos(x) +isin(x) )3e^{3ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3
    Ainsi :
    cos⁡(3x)=Re(e3ix)\cos\left(3x\right)=\text{Re}\left(e^{3ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )3{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3 .
    (cos(x) +isin(x) )3=cos⁡3(x)+3icos⁡2(x)sin⁡(x)+3cos⁡(x)(isin⁡(x))2+(isin⁡(x))3{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3={\cos}^3\left(x\right)+3i{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)+3\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3 équivaut successivement à :
    (cos(x) +isin(x) )3=cos⁡3(x)+3icos⁡2(x)sin⁡(x)−3cos⁡(x)sin⁡2(x)−isin⁡3(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3={\cos}^3\left(x\right)+3i{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-i{\sin}^3\left(x\right)
    Comme : cos⁡(3x)=Re(e3ix)\cos\left(3x\right)=\text{Re}\left(e^{3ix}\right)
    Finalement :
    cos⁡(3x)=cos⁡3(x)−3cos⁡(x)sin⁡2(x)\cos\left(3x\right)={\cos}^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)

    Question 2

    Exprimer sin⁡(3x)\sin\left(3x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

    Correction
    Pour tout réel xx, on a : e3ix=cos⁡(3x)+isin⁡(3x)e^{3ix}=\cos\left(3x\right)+i\sin\left(3x\right)
      La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e3ix=(cos(x) +isin(x) )3e^{3ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3
    Ainsi :
    sin⁡(3x)=Im(e3ix)\sin\left(3x\right)=\text{Im}\left(e^{3ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )3{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3 .
    (cos(x) +isin(x) )3=cos⁡3(x)+3icos⁡2(x)sin⁡(x)+3cos⁡(x)(isin⁡(x))2+(isin⁡(x))3{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3={\cos}^3\left(x\right)+3i{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)+3\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3 équivaut successivement à :
    (cos(x) +isin(x) )3=cos⁡3(x)+3icos⁡2(x)sin⁡(x)−3cos⁡(x)sin⁡2(x)−isin⁡3(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^3={\cos}^3\left(x\right)+3i{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-i{\sin}^3\left(x\right)
    Comme : sin⁡(3x)=Im(e3ix)\sin\left(3x\right)=\text{Im}\left(e^{3ix}\right)
    Finalement :
    sin⁡(3x)=3cos⁡2(x)sin⁡(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    Question 3

    En déduire cos⁡(3x)\cos\left(3x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) .

    Correction
    D'après la question 11, nous avons montré que :
    cos⁡(3x)=cos⁡3(x)−3cos⁡(x)sin⁡2(x)\cos\left(3x\right)={\cos}^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)
    Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
    Ainsi :
    cos⁡(3x)=cos⁡3(x)−3cos⁡(x)(1−cos⁡2(x))\cos\left(3x\right)={\cos}^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right)\left(1-{\cos}^2\left(x\right)\right)
    cos⁡(3x)=cos⁡3(x)−3cos⁡(x)+3cos⁡3(x)\cos\left(3x\right)={\cos}^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right)+3{\cos}^3\left(x\right)
    Finalement :
    cos⁡(3x)=4cos⁡3(x)−3cos⁡(x)\cos\left(3x\right)=4{\cos}^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right)
    Question 4

    En déduire sin⁡(3x)\sin\left(3x\right) en fonction de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

    Correction
    D'après la question 22, nous avons montré que :
    sin⁡(3x)=3cos⁡2(x)sin⁡(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
    Ainsi :
    sin⁡(3x)=3cos⁡2(x)sin⁡(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3{\cos}^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    sin⁡(3x)=3(1−sin⁡2(x))sin⁡(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3\left(1-{\sin}^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    sin⁡(3x)=(3−3sin⁡2(x))sin⁡(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=\left(3-3{\sin}^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    sin⁡(3x)=3sin⁡(x)−3sin⁡3(x)−sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3\sin\left(x\right)-3{\sin}^3\left(x\right)-{\sin}^3\left(x\right)
    Ainsi :
    sin⁡(3x)=3sin⁡(x)−4sin⁡3(x)\sin\left(3x\right)=3\sin\left(x\right)-4{\sin}^3\left(x\right)