Les nombres complexes (racines carrées et racines nièmes)

Autour des racines n-ième des nombres complexes - Exercice 5

15 min
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Question 1

Résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation suivante : z5i3=0z^5 - i - \sqrt{3}= 0.

Correction
L'équation à résoudre s'écrit encore :
z5=3+iz^5 = \sqrt{3} + i
Or :
3+i=32+12×(332+12+i132+12)=2×(32+i12)=2(cos(π6)+isin(π6))=2eiπ6\sqrt{3} + i = \sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2} \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2}} + i \, \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2}}\right) = 2 \times \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \, \dfrac{1}{2}\right) = 2 \left( \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right) + i \, \sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \right) = 2\, e^{i \frac{\pi}{6}}
Les cinq solutions complexes zkz_k de l'équation proposée z5=3+iz^5 = \sqrt{3} + i, avec k={0;1;2;3;4}k = \left\{ 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4 \right\} , sont donc données par :
zk=25eiπ6+2kπ5=25ei(π30+2kπ5)z_k = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{5}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{5} \right)}
Nous recherchons donc les racines cinquièmes du nombre complexe a=3+ia=\sqrt{3} + i. On a alors les solutions suivantes :
sik=0{\color{blue}{\,\,\, \bullet \,\, \mathrm{si} \,\, k = 0}}
Alors :
z0=25eiπ30z_0 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{\pi}{30}}
sik=1{\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \,\, \mathrm{si} \,\, k = 1}}
Alors :
z1=25ei(π30+2×1×π5)=25ei(π30+2π5)=25ei(π30+12π30)=25ei(π+12π30)=25ei13π30z_1 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2\times 1 \times \pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2\pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{12\pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi + 12 \pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{13 \pi}{30}}
sik=2{\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, \mathrm{si} \,\, k = 2}}
Alors :
z2=25ei(π30+2×2×π5)=25ei(π30+4π5)=25ei(π30+24π30)=25ei(π+24π30)=25ei25π30=25ei5×5×π5×6=25ei5π6z_2 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2\times 2 \times \pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{4\pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{24\pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi + 24 \pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{25 \pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{5 \times 5 \times \pi}{5 \times 6}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{5\pi}{6}}
sik=3{\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet\,\, \mathrm{si} \,\, k = 3}}
Alors :
z3=25ei(π30+2×3×π5)=25ei(π30+6π5)=25ei(π30+36π30)=25ei(π+36π30)=25ei37π30=25ei(6023)π30=25ei(2π23π30)z_3 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2\times 3 \times \pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{6\pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{36\pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi + 36 \pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{37 \pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{(60 - 23) \pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( 2\pi - \frac{23\pi}{30} \right)}
Soit :
z3=25ei2πei23π30=25ei0ei23π30=25×1×ei23π30=25ei23π30z_3 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, 2\pi} e^{-i \, \frac{23\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, 0} e^{-i \, \frac{23\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, \times 1 \times e^{-i \, \frac{23\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{-i \, \frac{23\pi}{30}}
sik=4{\color{blue}{\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \mathrm{si} \,\, k = 4}}
Alors :
z4=25ei(π30+2×4×π5)=25ei(π30+8π5)=25ei(π30+48π30)=25ei(π+48π30)=25ei49π30=25ei(6011)π30=25ei(2π11π30)z_4 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{2\times 4 \times \pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{8\pi}{5} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi}{30} + \frac{48\pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( \frac{\pi + 48 \pi}{30} \right)} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{49 \pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \frac{(60 - 11) \pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \left( 2\pi - \frac{11\pi}{30} \right)}
Soit :
z4=25ei2πei11π30=25ei0ei11π30=25×1×ei11π30=25ei11π30z_4 = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, 2\pi} e^{-i \, \frac{11\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, 0} e^{-i \, \frac{11\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, \times 1 \times e^{-i \, \frac{11\pi}{30}} = \sqrt[5]{2} \, e^{-i \, \frac{11\pi}{30}}
Finalement, les solutions recherchées sont :
z=25eiπ30ouz=25ei13π30ouz=25ei5π6ouz=25ei23π30ouz=25ei11π30{\color{red}{\boxed{ z = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, \frac{\pi}{30}} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, \frac{13\pi}{30}} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = \sqrt[5]{2} \, e^{i \, \frac{5\pi}{6}} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = \sqrt[5]{2} \, e^{-i \, \frac{23\pi}{30}} \,\,\, \mathrm{ou} \,\,\, z = \sqrt[5]{2} \, e^{-i \, \frac{11\pi}{30}}}}}