On a :
Sn=ω0+ω1+⋯+ωk+⋯+ωn−1=k=0∑n−1ωk=k=0∑n−1ωk=k=0∑n−1(ein2π)kIl s'agit de la somme des
n premiers termes d'une
suite geˊomeˊtrique de raison
ω=ein2π, et dont le premier terme est
ω0=ω0=(ein2π)0=1. On a alors :
Sn=ω0×1−ω1−ωn=1×1−ω1−ωn=1−ω1−ωn=1−ω1−(ein2π)n=1−ω1−(ein2nπ)=1−ω1−ei2πOr, on sait que
ei2π=ei0=e0=1Ce qui nous permet d'écrire que :
Sn=1−ω1−1Finalement :
Sn=0Ainsi, la somme desnracinesn−ieˋme de l’uniteˊ est toujours nulle.