On s'intéresse à la résolution, dans
C, de l'équation
z7=1.
- Soit a=reiθ avec r>0 et θ∈[0;2π[ un nombre complexe non nul et soit n entier naturel non nul.
Le nombre complexe a admet n racines nième distinctes définies par : zk=(r)n1ei(nθ+2kπ) où k∈[[0;n−1]]
Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe
1.
∣−1∣=1 et
arg(−1) =π[2π] ainsi
1=ei0On rappelle que nous voulons résoudre, dans
C, l'équation
z7=1.
Autrement dit
z7=e−i0D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
zk=(1)71ei(70+2kπ) où
k∈[[0;7−1]]zk=ei72kπ où
k∈[[0;6]]Les racines septièmes de
1 sont alors :
z0=ei72×0×π⇔ z0=ei0=1 z1=ei72×1×π⇔ z1=ei72π z2=ei72×2×π⇔ z2=ei74π z3=ei72×3×π⇔ z3=ei76π z4=ei72×4×π⇔ z4=ei78π=z3 z5=ei72×5×π⇔ z5=ei710π=z2 z6=ei72×5×π⇔ z5=ei712π=z1 Finalement :
S={1;ei72π;ei74π;ei76π;e−i76π;e−i74π;e−i72π}