Autour des racines n-ième des nombres complexes - Exercice 2

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^7 =1$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$1$$.
$$\left|-1\right|=1$$ et $${\mathrm{arg} \left(-1\right)\ }=\pi\left[2\pi \right]$$ ainsi $$1=e^{i0}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^7 = 1$$.
Autrement dit $$z^7=e^{-i0}$$
D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
$$z_k={\left(1\right)}^{\frac{1}{7}}e^{i\left(\frac{0 +2k\pi }{7}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;7-1\right]\right]$$
$$z_k=e^{i\frac{2k\pi }{7}}$$ où $$k \in\left[\left[0;6\right]\right]$$
Les racines septièmes de $$1$$ sont alors :

$$z_0=e^{i\frac{2\times 0\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_0=e^{i0}=1$$

$$z_1=e^{i\frac{2\times 1\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_1=e^{i\frac{2\pi }{7}}$$

$$z_2=e^{i\frac{2\times 2\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_2=e^{i\frac{4\pi }{7}}$$

$$z_3=e^{i\frac{2\times 3\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_3=e^{i\frac{6\pi }{7}}$$

$$z_4=e^{i\frac{2\times 4\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_4=e^{i\frac{8\pi }{7}}=\overline{z_3}$$

$$z_5=e^{i\frac{2\times 5\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_5=e^{i\frac{10\pi }{7}}=\overline{z_2}$$

$$z_6=e^{i\frac{2\times 5\times \pi }{7}}\Leftrightarrow$$

$$z_5=e^{i\frac{12\pi }{7}}=\overline{z_1}$$

Finalement :

On nous demande de calculer : $$S=\sum_{k=0}^6 e^{i\frac{2k\pi }{7}}$$ .
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=$$ et de premier terme $$e^{i0}=1$$ .
Il vient alors que :
$$S=1\times \frac{1-{\left(e^{i\frac{2\pi }{7}}\right)}^7}{1-e^{i\frac{2\pi }{7}}}$$
$$S=1\times \frac{1-e^{i\frac{2\pi \times 7}{7}}}{1-e^{i\frac{2\pi }{7}}}$$
$$S=1\times \frac{1-e^{i2\pi }}{1-e^{i\frac{2\pi }{7}}}$$
$$S=1\times \frac{1-1}{1-e^{i\frac{2\pi }{7}}}$$
$$S=1\times \frac{0}{1-e^{i\frac{2\pi }{7}}}$$
Ainsi :

D'après la question $$2$$, nous savons que : $$S=0$$
Nous pouvons alors écrire que :
$$\sum_{k=0}^6 e^{i\frac{2k\pi }{7}}=0$$ équivaut successivement à :
$$1+e^{i\frac{2\pi }{7}}+e^{i\frac{4\pi }{7}}+e^{i\frac{6\pi }{7}}+e^{-i\frac{6\pi }{7}}+e^{-i\frac{4\pi }{7}}+e^{-i\frac{2\pi }{7}}=0$$
$$\red{e^{i\frac{2\pi }{7}}+e^{-i\frac{2\pi }{7}}}+\blue{e^{i\frac{4\pi }{7}}+e^{-i\frac{4\pi }{7}}}+\green{e^{i\frac{6\pi }{7}}+e^{-i\frac{6\pi }{7}}}=-1$$
$$\red{2{\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi }{7}\right)\ }}+\blue{2{\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{7}\right)\ }}+\green{2{\mathrm{cos} \left(\frac{6\pi }{7}\right)\ }}=-1$$
$$2\left({\mathrm{cos} \left(\frac{2\pi }{7}\right)\ }+{\mathrm{cos} \left(\frac{4\pi }{7}\right)\ }+{\mathrm{cos} \left(\frac{6\pi }{7}\right)\ }\right)=-1$$
Ainsi :