Autour des racines n-ième des nombres complexes - Exercice 1

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^3 = \left(1+i\right)^8$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$\left(1+i\right)^8$$.
$$\left|1+i\right|=\sqrt{2}$$ et $${\mathrm{arg} \left(1+i\right)\ }=\frac{\pi }{4}\left[2\pi \right]$$ ainsi $$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}$$
Ainsi :
$${\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}\right)}^8{\left(e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8$$
$${\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8=16e^{i\frac{8\pi }{4}}$$
$${\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8=16e^{i0}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^3 = \left(1+i\right)^8$$.
Autrement dit $$z^3=16e^{i0}$$
D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
$$z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{0 +2k\pi }{3}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;3-1\right]\right]$$
$$z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2k\pi }{3}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;2\right]\right]$$
Les racines cubiques de $$\left(1+i\right)^8$$ sont alors :

$$z_0={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 0\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0=16^{\frac{1}{3}}$$

$$z_1={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 1\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1=16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{2\pi }{3}}$$

$$z_2={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 2\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2=16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{4\pi }{3}}$$

Finalement :

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^5 = 1024i$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$1024i$$.
$$\left|1024i\right|=1024$$ et $${\mathrm{arg} \left(1024i\right)\ }=\frac{\pi }{2}\left[2\pi \right]$$ ainsi $$1024i=1024e^{i\frac{\pi }{2}}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^5 = 1024i$$.
Autrement dit $$z^5=1024e^{i\frac{\pi }{2}}$$
D'après le rappel, les racines cinquièmes, sont de la forme :
$$z_k={\left(1024\right)}^{\frac{1}{5}}e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2} +2k\pi }{5}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;5-1\right]\right]$$
$$z_k=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{5}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;4\right]\right]$$
Les racines cinquièmes de $$1024i$$ sont alors :

$$z_0=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times0\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0=4e^{i\frac{\pi }{10}}$$

$$z_1=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times1\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1=4e^{i\frac{\pi }{2}}=4i$$

$$z_2=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2=4e^{i\frac{9\pi }{10}}$$

$$z_3=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+3\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_3=4e^{i\frac{13\pi }{10}}$$

$$z_4=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+4\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_4=4e^{i\frac{17\pi }{10}}$$

Finalement :

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^4 = -8-8\sqrt{3}i$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$-8-8\sqrt{3}i$$.
$$\left|-8-8\sqrt{3}i\right|=16$$ et $${\mathrm{arg} \left(-8-8\sqrt{3}i\right)\ }=-\frac{2\pi }{3}\left[2\pi \right]$$ ainsi $$-8-8\sqrt{3}i=16e^{-i\frac{2\pi }{3}}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^4 = -8-8\sqrt{3}i$$.
Autrement dit $$z^4=16e^{-i\frac{2\pi }{3}}$$
D'après le rappel, les racines quatrièmes, sont de la forme :
$$z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2k\pi }{4}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;4-1\right]\right]$$
$$z_k=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2k\pi }{4}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;3\right]\right]$$
Les racines quatrièmes de $$-8-8\sqrt{3}i$$ sont alors :

$$z_0=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times0\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0=2e^{-i\frac{\pi }{6}}$$

$$z_1=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times1\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1=2e^{i\frac{\pi }{3}}$$

$$z_2=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times2\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2=2e^{i\frac{5\pi }{6}}$$

$$z_3=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times3\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_3=2e^{i\frac{4\pi }{3}}$$

Finalement :

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^6 =\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}$$.
Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}$$.
$$\left|1-\sqrt{3}i\right|=2$$ et $${\mathrm{arg} \left(1-\sqrt{3}i\right)\ }=-\frac{\pi }{3}\left[2\pi \right]$$
$$\left|1-i\right|=\sqrt{2}$$ et $${\mathrm{arg} \left(1-i\right)\ }=-\frac{\pi }{4}\left[2\pi \right]$$
Ainsi :
$$\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}=\frac{2e^{-i\frac{\pi }{3}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4}}}$$ ainsi : $$\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{12}}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^6 = \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}$$.
Autrement dit $$z^6=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{12}}$$
D'après le rappel, les racines sixièmes, sont de la forme :
$$z_k={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2k\pi }{6}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;6-1\right]\right]$$
$$z_k={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2k\pi }{6}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;5\right]\right]$$
Les racines sixièmes de $$\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}$$ sont alors :

$$z_0={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 0\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{-i\frac{\pi }{72}}$$

$$z_1={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 1\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{23\pi }{72}}$$

$$z_2={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 2\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{47\pi }{72}}$$

$$z_3={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 3\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_3={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{71\pi }{72}}$$

$$z_4={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 4\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_4={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{95\pi }{72}}$$

$$z_5={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 5\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_5={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{119\pi }{72}}$$

Finalement :

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^3 =-1$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$-1$$.
$$\left|-1\right|=1$$ et $${\mathrm{arg} \left(-1\right)\ }=\pi\left[2\pi \right]$$ ainsi $$-1=e^{-i\pi}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^3 = -1$$.
Autrement dit $$z^3=e^{-i\pi}$$
D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
$$z_k={\left(1\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{\pi +2k\pi }{3}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;3-1\right]\right]$$
$$z_k=e^{i\left(\frac{\pi+2k\pi }{3}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;2\right]\right]$$
Les racines cubiques de $$-1$$ sont alors :

$$z_0=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 0\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0=e^{i\frac{\pi }{3}}$$

$$z_1=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 1\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1=e^{i\pi}=-1$$

$$z_2=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 2\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2=e^{i\frac{5\pi }{3}}$$

Finalement :

On s'intéresse à la résolution, dans $$\mathbb{C}$$, de l'équation $$z^4 =1+e^{i\beta}$$.Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe $$1+e^{i\beta}$$.
$$1+e^{i\beta }=e^{i\frac{\beta }{2}}\left(e^{i\frac{\beta }{2}}+e^{-i\frac{\beta }{2}}\right)$$
$$1+e^{i\beta }=e^{i\frac{\beta }{2}}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)$$
$$1+e^{i\beta }=2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}$$
Or $$\beta \in \left]0;\pi\right[$$ ainsi $$\frac{\beta }{2} \in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$$ ainsi $${\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }>0$$
il en résulte donc que la forme exponentielle de $$1+e^{i\beta }$$ est bien $$2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}$$
On rappelle que nous voulons résoudre, dans $$\mathbb{C}$$, l'équation $$z^4 = 1+e^{i\beta}$$.
Autrement dit $$z^4 = 2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}$$
D'après le rappel, les racines quatrièmes, sont de la forme :
$$z_k={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2k\pi }{4}\right)}$$ où $$k \in\left[\left[0;4-1\right]\right]$$
Les racines quatrièmes de $$1+e^{i\beta}$$ sont alors :

$$z_0={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 0\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_0={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{-i\frac{\beta }{8}}$$

$$z_1={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 1\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_1={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+4\pi }{8}\right)}$$

$$z_2={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 2\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_2={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+8\pi }{8}\right)}$$

$$z_3={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 3\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow$$

$$z_3={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+12\pi }{8}\right)}$$

Finalement, les racines quatrièmes de $$1+e^{i\beta}$$ sont alors :