Autour des racines n-ième des nombres complexes - Exercice 1

20 min
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Question 1

Déterminer les racines cubiques de (1+i)8\left(1+i\right)^8 .

Correction
On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z3=(1+i)8z^3 = \left(1+i\right)^8.
  • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
    Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe (1+i)8\left(1+i\right)^8.
∣1+i∣=2\left|1+i\right|=\sqrt{2} et arg(1+i) =π4[2π]{\mathrm{arg} \left(1+i\right)\ }=\frac{\pi }{4}\left[2\pi \right] ainsi 1+i=2eiπ41+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}
Ainsi :
(1+i)8=(2eiπ4)8⟺(1+i)8=(2)8(eiπ4)8{\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}\right)}^8{\left(e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8
(1+i)8=(2eiπ4)8⟺(1+i)8=16ei8π4{\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8=16e^{i\frac{8\pi }{4}}
(1+i)8=(2eiπ4)8⟺(1+i)8=16ei0{\left(1+i\right)}^8={\left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^8\Longleftrightarrow {\left(1+i\right)}^8=16e^{i0}
On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z3=(1+i)8z^3 = \left(1+i\right)^8.
Autrement dit z3=16ei0z^3=16e^{i0}
D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
zk=(16)13ei(0+2kπ3)z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{0 +2k\pi }{3}\right)} où k∈[[0;3−1]]k \in\left[\left[0;3-1\right]\right]
zk=(16)13ei(2kπ3)z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2k\pi }{3}\right)} où k∈[[0;2]]k \in\left[\left[0;2\right]\right]
Les racines cubiques de (1+i)8\left(1+i\right)^8 sont alors :
  • z0=(16)13ei(2×0π3)⇔z_0={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 0\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z0=1613z_0=16^{\frac{1}{3}}
  • z1=(16)13ei(2×1π3)⇔z_1={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 1\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z1=1613ei2π3z_1=16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{2\pi }{3}}
  • z2=(16)13ei(2×2π3)⇔z_2={\left(16\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{2\times 2\pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z2=1613ei4π3z_2=16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{4\pi }{3}}
    • Finalement :
    S={1613;1613ei2π3;1613ei4π3}S=\left\{16^{\frac{1}{3}};16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{2\pi }{3}};16^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{4\pi }{3}}\right\}

    Question 2

    Déterminer les racines cinquièmes de 1024i1024i .

    Correction
    On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z5=1024iz^5 = 1024i.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe 1024i1024i.
    ∣1024i∣=1024\left|1024i\right|=1024 et arg(1024i) =π2[2π]{\mathrm{arg} \left(1024i\right)\ }=\frac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ainsi 1024i=1024eiπ21024i=1024e^{i\frac{\pi }{2}}
    On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z5=1024iz^5 = 1024i.
    Autrement dit z5=1024eiπ2z^5=1024e^{i\frac{\pi }{2}}
    D'après le rappel, les racines cinquièmes, sont de la forme :
    zk=(1024)15ei(π2+2kπ5)z_k={\left(1024\right)}^{\frac{1}{5}}e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2} +2k\pi }{5}\right)} où k∈[[0;5−1]]k \in\left[\left[0;5-1\right]\right]
    zk=4ei(π2+2kπ5)z_k=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{5}\right)} où k∈[[0;4]]k \in\left[\left[0;4\right]\right]
    Les racines cinquièmes de 1024i1024i sont alors :
  • z0=4ei(π2+2×0π5)⇔z_0=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times0\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow
    z0=4eiπ10z_0=4e^{i\frac{\pi }{10}}
  • z1=4ei(π2+2×1π5)⇔z_1=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times1\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow
    z1=4eiπ2=4iz_1=4e^{i\frac{\pi }{2}}=4i
  • z2=4ei(π2+2×2π5)⇔z_2=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+2\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow
    z2=4ei9π10z_2=4e^{i\frac{9\pi }{10}}
  • z3=4ei(π2+3×2π5)⇔z_3=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+3\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow
    z3=4ei13π10z_3=4e^{i\frac{13\pi }{10}}
  • z4=4ei(π2+4×2π5)⇔z_4=4e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{2}+4\times2\pi }{5}\right)}\Leftrightarrow
    z4=4ei17π10z_4=4e^{i\frac{17\pi }{10}}

    • Finalement :
    S={4eiπ10;4i;4ei9π10;4ei13π10;4ei17π10}S=\left\{4e^{i\frac{\pi }{10}};4i;4e^{i\frac{9\pi }{10}};4e^{i\frac{13\pi }{10}};4e^{i\frac{17\pi }{10}}\right\}
    Question 3

    Déterminer les racines quatrièmes de −8−83i-8-8\sqrt{3}i .

    Correction
    On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z4=−8−83iz^4 = -8-8\sqrt{3}i.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe −8−83i-8-8\sqrt{3}i.
    ∣−8−83i∣=16\left|-8-8\sqrt{3}i\right|=16 et arg(−8−83i) =−2π3[2π]{\mathrm{arg} \left(-8-8\sqrt{3}i\right)\ }=-\frac{2\pi }{3}\left[2\pi \right] ainsi −8−83i=16e−i2π3-8-8\sqrt{3}i=16e^{-i\frac{2\pi }{3}}
    On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z4=−8−83iz^4 = -8-8\sqrt{3}i.
    Autrement dit z4=16e−i2π3z^4=16e^{-i\frac{2\pi }{3}}
    D'après le rappel, les racines quatrièmes, sont de la forme :
    zk=(16)14ei(−2π3+2kπ4)z_k={\left(16\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2k\pi }{4}\right)} où k∈[[0;4−1]]k \in\left[\left[0;4-1\right]\right]
    zk=2ei(−2π3+2kπ4)z_k=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2k\pi }{4}\right)} où k∈[[0;3]]k \in\left[\left[0;3\right]\right]
    Les racines quatrièmes de −8−83i-8-8\sqrt{3}i sont alors :
  • z0=2ei(−2π3+2×0π4)⇔z_0=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times0\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z0=2e−iπ6z_0=2e^{-i\frac{\pi }{6}}
  • z1=2ei(−2π3+2×1π4)⇔z_1=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times1\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z1=2eiπ3z_1=2e^{i\frac{\pi }{3}}
  • z2=2ei(−2π3+2×2π4)⇔z_2=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times2\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z2=2ei5π6z_2=2e^{i\frac{5\pi }{6}}
  • z3=2ei(−2π3+2×3π4)⇔z_3=2e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{3} +2\times3\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z3=2ei4π3z_3=2e^{i\frac{4\pi }{3}}

    • Finalement :
    S={2e−iπ6;eiπ3;2ei5π6;2ei4π3}S=\left\{2e^{-i\frac{\pi }{6}};e^{i\frac{\pi }{3}};2e^{i\frac{5\pi }{6}};2e^{i\frac{4\pi }{3}}\right\}
    Question 4

    Déterminer les racines sixièmes de 1−i31−i\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i} .

    Correction
    On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z6=1−i31−iz^6 =\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe 1−i31−i\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}.
    ∣1−3i∣=2\left|1-\sqrt{3}i\right|=2 et arg(1−3i) =−π3[2π]{\mathrm{arg} \left(1-\sqrt{3}i\right)\ }=-\frac{\pi }{3}\left[2\pi \right]
    ∣1−i∣=2\left|1-i\right|=\sqrt{2} et arg(1−i) =−π4[2π]{\mathrm{arg} \left(1-i\right)\ }=-\frac{\pi }{4}\left[2\pi \right]
    Ainsi :
    1−i31−i=2e−iπ32e−iπ4\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}=\frac{2e^{-i\frac{\pi }{3}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4}}} ainsi : 1−i31−i=2e−iπ12\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{12}}
    On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z6=1−i31−iz^6 = \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i}.
    Autrement dit z6=2e−iπ12z^6=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{12}}
    D'après le rappel, les racines sixièmes, sont de la forme :
    zk=(2)16ei(−π12+2kπ6)z_k={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2k\pi }{6}\right)} où k∈[[0;6−1]]k \in\left[\left[0;6-1\right]\right]
    zk=(2)16ei(−π12+2kπ6)z_k={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2k\pi }{6}\right)} où k∈[[0;5]]k \in\left[\left[0;5\right]\right]
    Les racines sixièmes de 1−i31−i\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i} sont alors :
  • z0=(2)16ei(−π12+2×0π6)⇔z_0={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 0\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z0=(2)16e−iπ72z_0={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{-i\frac{\pi }{72}}
  • z1=(2)16ei(−π12+2×1π6)⇔z_1={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 1\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z1=(2)16ei23π72z_1={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{23\pi }{72}}
  • z2=(2)16ei(−π12+2×2π6)⇔z_2={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 2\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z2=(2)16ei47π72z_2={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{47\pi }{72}}
  • z3=(2)16ei(−π12+2×3π6)⇔z_3={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 3\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z3=(2)16ei71π72z_3={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{71\pi }{72}}
  • z4=(2)16ei(−π12+2×4π6)⇔z_4={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 4\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z4=(2)16ei95π72z_4={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{95\pi }{72}}
  • z5=(2)16ei(−π12+2×5π6)⇔z_5={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\left(\frac{-\frac{\pi }{12} +2\times 5\pi }{6}\right)}\Leftrightarrow
    z5=(2)16ei119π72z_5={\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{119\pi }{72}}

    • Finalement :
    S={(2)16e−iπ72;(2)16ei23π72;(2)16ei47π72;(2)16ei71π72;(2)16ei95π72;(2)16ei119π72}S=\left\{{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{-i\frac{\pi }{72}};{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{23\pi }{72}};{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{47\pi }{72}};{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{71\pi }{72}};{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{95\pi }{72}};{\left(\sqrt{2}\right)}^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{119\pi }{72}}\right\}
    Question 5

    Déterminer les racines cubiques de −1-1 .

    Correction
    On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z3=−1z^3 =-1.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe −1-1.
    ∣−1∣=1\left|-1\right|=1 et arg(−1) =π[2π]{\mathrm{arg} \left(-1\right)\ }=\pi\left[2\pi \right] ainsi −1=e−iπ-1=e^{-i\pi}
    On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z3=−1z^3 = -1.
    Autrement dit z3=e−iπz^3=e^{-i\pi}
    D'après le rappel, les racines cubiques, sont de la forme :
    zk=(1)13ei(π+2kπ3)z_k={\left(1\right)}^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{\pi +2k\pi }{3}\right)} où k∈[[0;3−1]]k \in\left[\left[0;3-1\right]\right]
    zk=ei(π+2kπ3)z_k=e^{i\left(\frac{\pi+2k\pi }{3}\right)} où k∈[[0;2]]k \in\left[\left[0;2\right]\right]
    Les racines cubiques de −1-1 sont alors :
  • z0=ei(π+2×0×π3)⇔z_0=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 0\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z0=eiπ3z_0=e^{i\frac{\pi }{3}}
  • z1=ei(π+2×1×π3)⇔z_1=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 1\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z1=eiπ=−1z_1=e^{i\pi}=-1
  • z2=ei(π+2×2×π3)⇔z_2=e^{i\left(\frac{\pi+2\times 2\times \pi }{3}\right)}\Leftrightarrow
    z2=ei5π3z_2=e^{i\frac{5\pi }{3}}
    • Finalement :
    S={eiπ3;−1;ei5π3}S=\left\{e^{i\frac{\pi }{3}};-1;e^{i\frac{5\pi }{3}}\right\}
    Question 6

    Soit β∈]0;π[\beta \in \left]0;\pi\right[ . Déterminer les racines quatrièmes de 1+eiβ1+e^{i\beta} .

    Correction
    On s'intéresse à la résolution, dans C\mathbb{C}, de l'équation z4=1+eiβz^4 =1+e^{i\beta}.
    • Soit a=reiθa=re^{i\theta} avec r>0r>0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[ un nombre complexe non nul et soit nn entier naturel non nul.
      Le nombre complexe aa admet nn racines nième distinctes définies par : zk=(r)1nei(θ+2kπn)z_k={\left(r\right)}^{\frac{1}{n}}e^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)} où k∈[[0;n−1]]k \in\left[\left[0;n-1\right]\right]
    Dans un premier temps, nous allons donner la forme exponentielle du nombre complexe 1+eiβ1+e^{i\beta}.
    1+eiβ=eiβ2(eiβ2+e−iβ2)1+e^{i\beta }=e^{i\frac{\beta }{2}}\left(e^{i\frac{\beta }{2}}+e^{-i\frac{\beta }{2}}\right)
    1+eiβ=eiβ2(2cos(β2) )1+e^{i\beta }=e^{i\frac{\beta }{2}}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)
    1+eiβ=2cos(β2) eiβ21+e^{i\beta }=2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}
    Or β∈]0;π[\beta \in \left]0;\pi\right[ ainsi β2∈]0;π2[\frac{\beta }{2} \in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[ ainsi cos(β2) >0{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }>0
    il en résulte donc que la forme exponentielle de 1+eiβ1+e^{i\beta } est bien 2cos(β2) eiβ22{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}
    On rappelle que nous voulons résoudre, dans C\mathbb{C}, l'équation z4=1+eiβz^4 = 1+e^{i\beta}.
    Autrement dit z4=2cos(β2) eiβ2z^4 = 2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }e^{i\frac{\beta }{2}}
    D'après le rappel, les racines quatrièmes, sont de la forme :
    zk=(2cos(β2) )14ei(β2+2kπ4)z_k={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2k\pi }{4}\right)} où k∈[[0;4−1]]k \in\left[\left[0;4-1\right]\right]
    Les racines quatrièmes de 1+eiβ 1+e^{i\beta} sont alors :
  • z0=(2cos(β2) )14ei(β2+2×0×π4)⇔z_0={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 0\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z0=(2cos(β2) )14e−iβ8z_0={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{-i\frac{\beta }{8}}
  • z1=(2cos(β2) )14ei(β2+2×1×π4)⇔z_1={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 1\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z1=(2cos(β2) )14ei(β+4π8)z_1={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+4\pi }{8}\right)}
  • z2=(2cos(β2) )14ei(β2+2×2×π4)⇔z_2={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 2\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z2=(2cos(β2) )14ei(β+8π8)z_2={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+8\pi }{8}\right)}
  • z3=(2cos(β2) )14ei(β2+2×3×π4)⇔z_3={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\frac{\beta }{2} +2\times 3\times\pi }{4}\right)}\Leftrightarrow
    z3=(2cos(β2) )14ei(β+12π8)z_3={\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+12\pi }{8}\right)}
    • Finalement, les racines quatrièmes de 1+eiβ1+e^{i\beta} sont alors :
    S={(2cos(β2) )14e−iβ8;(2cos(β2) )14ei(β+4π8);(2cos(β2) )14ei(β+8π8);(2cos(β2) )14ei(β+12π8)}S=\left\{{\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{-i\frac{\beta }{8}};{\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+4\pi }{8}\right)};{\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+8\pi }{8}\right)};{\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\beta }{2}\right)\ }\right)}^{\frac{1}{4}}e^{i\left(\frac{\beta+12\pi }{8}\right)}\right\}

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