Les applications

Un peu de théorie (3) - Exercice 1

20 min
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Toujours un exercice théorique.
Question 1
Soit EE et FF deux ensembles non vides.
Soit ff une application de EE vers FF.
On note par Rf\mathcal{R}_f la bijection réciproque de ff.
On note par A⊂EA \subset E une partie de EE, et B⊂FB \subset F une partie de FF.
∢  Remarque:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle\,\, Remarque :}}}
Le présence de l'écriture Rf\mathcal{R}_f pourrait faire penser que ff serait une bijection, et que Rf\mathcal{R}_f également. Ceci est vrai si Rf\mathcal{R}_f s'applique à un élément xx d'un ensemble. Mais lorsque Rf\mathcal{R}_f s'applique à un ensemble, EE par exemple, alors Rf(E){\color{blue}{\mathcal{R}_f(E)}} est  eˊgalement  un  ensemble{\color{blue}{\bf{est \,\, également \,\, un \,\, ensemble}}}, appelé ensemble réciproque. En Aucun cas l'écriture Rf(E)\mathcal{R}_f(E) ne suppose (ou induit) la nature bijective de l'application ff.
Pour préciser ceci, on considère l'application ff suivante :
f:{X⟶Yx⟼y=f(x)f :\left\lbrace \begin{array}{rcl} X & \longrightarrow & Y \\ x & \longmapsto & y = f(x)\\ \end{array} \right.
On note par BB une partie de YY. L'ensemble réciproque Rf(B)\mathcal{R}_f(B), également noté f−1(B)f^{-1}(B) et parfois aussi f−1(B)\overset{-1}{f}(B) pour insister sur la nature ensembliste, est caractérisé par :
(x∈Rf(B))⟺(f(x)∈B)\bigg( x \in \mathcal{R}_f(B) \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( f(x) \in B \bigg)
Et on peut y associer la figure suivante :

Montrer que f(Rf(B))⊂Bf\big( \mathcal{R}_f(B) \big) \subset B.

Correction
On rappelle que l'ensemble AA est inclus dans l'ensemble BB, qui se note A⊂BA \subset B se traduit par (en notant par yy un élément de l'ensemble AA) l'assrtion suivante :
(y∈A)⟹(y∈B)(y \in A) \Longrightarrow (y \in B).
Soit yy un élément quelconque de l'ensemble f(Rf(B))⊂Ff\big( \mathcal{R}_f(B) \big) \subset F. Ceci implique l'existence d'un élément xx appartenant à l'ensemble Rf(B)\mathcal{R}_f(B) tel que y=f(x)y = f(x). Or, x∈Rf(B)x \in \mathcal{R}_f(B) et de fait f(x)∈Bf(x) \in B.
On a donc prouvé que (y∈f(Rf(B)))⟹(y∈B)\bigg( y \in f\big( \mathcal{R}_f(B) \big) \bigg) \Longrightarrow \big( y \in B \big).
Ce qui prouve bien que f(Rf(B))⊂Bf\big( \mathcal{R}_f(B) \big) \subset B.
Question 2

Montrer que A⊂Rf(f(A))A \subset \mathcal{R}_f \big( f(A) \big).

Correction
On suppose que x∈A⊂Ex \in A \subset E. De fait, on a f(x)∈f(A)f(x) \in f(A). Donc, on a immédiatement x∈Rf(f(A))x \in \mathcal{R}_f \big( f(A) \big). Et comme nous avons supposé que x∈Ax \in A, cela implique que A⊂Rf(f(A))A \subset \mathcal{R}_f \big( f(A) \big).