Un peu de théorie (2) - Exercice 1

Débutons par la bijectivité de l'application $$f$$.
Pour réaliser ceci, nous allons montrer, successivement, que l'application $$f$$ est à la fois injective et surjective.
$${\color{blue}{\bullet \,\,\bf{Injectivité \,\, de \,\,}} f }$$
Soit $$x_1$$ et $$x_2$$ deux éléments de l'ensemble $$E$$. Supposons donc que $$f(x_1) = f(x_2)$$ et montrons que cela implique que $$x_1 = x_2$$. On a donc :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \bigg( g\big(f(x_1)\big) = g\big(f(x_2)\big) \bigg) \Longrightarrow \bigg( \big(g \circ f \big)(x_1) = \big(g \circ f \big)(x_2) \bigg)$$
Ce qui nous permet, par composition par $$f$$, d'écrire que :
$$\bigg( \big(g \circ f \big)(x_1) = \big(g \circ f \big)(x_2) \bigg) \Longrightarrow \bigg( f\big(\big(g \circ f \big)(x_1)\big) = f\big(\big(g \circ f \big)(x_2)\big) \bigg)$$
Soit encore :
$$\bigg( \big(g \circ f \big)(x_1) = \big(g \circ f \big)(x_2) \bigg) \Longrightarrow \bigg( \big( f \circ g \circ f \big)(x_1) = \big( f \circ g \circ f \big)(x_2) \bigg)$$
Mais, par hypothèse, l'application composée $$f \circ g \circ f$$ est bijective, donc elle est injective. Ceci implique que :
$$\bigg( \big( f \circ g \circ f \big)(x_1) = \big( f \circ g \circ f \big)(x_2) \bigg) \Longrightarrow (x_1 = x_2)$$
On a donc montré que :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow (x_1 = x_2)$$
Ce qui démontre l'injectivité de $$f$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\,\bf{Surjectivité \,\, de \,\,}} f }$$
Soit $$z$$ un élément quelconque de l'ensemble $$E$$.
Par hypothèse, l'application composée $$f \circ g \circ f$$ est bijective, donc elle est surjective. Ceci implique qu'il existe toujours un antécédent $$x \in E$$ par l'application composée $$f \circ g \circ f$$, tel que $$\big(f \circ g \circ f\big)(x) = z$$. Ceci s'écrit aussi $$f\big( g(f(x)) \big) = z$$. Posons $$y = g(f(x)) \in E$$, et on obtient l'écriture $$f(y) = z$$. Ainsi, nous venons de prouver que pour chaque image $$z \in E$$, il est toujours possible de trouver au moins un antécédent $$z \in E$$ par l'application $$f$$. Ceci est la définition de la surjectivité de l'application $$f$$.
Donc, l'application $$f$$ est surjective.
$${\color{red}{\bullet \bullet \bullet \,\,\bf{Bijectivité \,\, de \,\,}} f }$$
Nous venons de montrer successivement que l'application $$f$$ est injective puis surjective.
Finalement, l'application $$f$$ est bijective.