Soit
y un élément de l'ensemble
F.
On souhaite démontrer la surjectivité de
f c'est-à-dire que tout élément image
y∈F il y a toujours au moins un antécédent
x∈E de possible par l'application
f. Pour ceci nous devrons faire usage des deux informations suivantes :
g∘f est surjective et
g est injective.
On a choisit un élément quelconque
y de l'ensemble
F, ainsi
g(y)∈G. De plus, nous avons supposé que
g∘f est surjective, ce qui signifie qu'il existe toujours un élément antécédent
x∈E tel que
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(y). De plus, par hypothèse, on a supposé que l'application
g est injective. L'injectivité de
g nous permet d'affirmer que :
∀(y1;y2)∈F2,(g(y1)=g(y2))⟹(y1=y2)Donc, en posant
y2=f(x) et
y2=y, on obtient :
(g(f(x))=g(y))⟹(f(x)=y).
Autrement dit, nous avons montré que pour chaque élément
y de l'ensemble
F, il existe un antécédent
x∈E par l'application
f, à savoir
y=f(x).
Finalement, l'application
f est surjective.