Pour vérifier que l'on sait faire ! - Exercice 1

Nous allons procéder en deux temps. Tout d'abord nous allons montrer que $$\big( f \,\, \mathrm{injective} \big) \Longrightarrow \big( f \,\, \mathrm{surjective} \big)$$ puis nous montrerons le sens indirect de l'implication, à savoir $$\big( f \,\, \mathrm{surjective} \big) \Longrightarrow \big( f \,\, \mathrm{injective} \big)$$. Ainsi l'équivalence sera effectivement démontré.
$${\color{blue}{\bf{\bullet \,\, Le \,\, sens \,\, direct :}}}$$
Supposons donc que l'application $$f$$ soit effectivement injective, et montrons que $$f$$ est alors surjective.
Soit $$y \in E$$, on cherche à savoir s'il est toujours possible de trouver un antécédent $$x \in E$$ tel que $$y = f(x)$$.
On sait, par la propriété de $$f$$, que :
$$f(y) = \big( f \circ f \circ f \big)(y) = f\big( (f \circ f) (y) \big)$$
Mais, initialement, nous avons supposé que $$f$$ était injective. Donc cela signifie que :
$$\bigg(f(y) = f\big( (f \circ f) (y) \big) \bigg) \Longrightarrow \bigg(y = (f \circ f) (y) \bigg)$$
Soit encore :
$$\bigg(f(y) = f\big( (f \circ f) (y) \big) \bigg) \Longrightarrow \bigg(y = f\big(f(y)\big) \bigg)$$
Or, $$y = f(x)$$, donc on a :
$$f(x) = f\big(f(y)\big)$$
Ce qui permet d'écrire que $$x = f(y)$$. Donc, on a bien trouvé qu'il existe toujours un antécédent à $$y$$ par $$f$$, et cet antécédent est donné par l'expression $$x = f(y)$$. Son existence est assuré par l'existence de $$f$$.
Donc $$f$$ est surjective.
$${\color{blue}{\bf{\bullet \bullet \,\, Le \,\, sens \,\, indirect :}}}$$
Supposons donc que l'application $$f$$ soit effectivement surjective, et montrons que $$f$$ est alors injective.
Soit $$x_1$$ et $$x_2$$ deux élément de l'ensemble $$E$$, tels que $$f(x_1) = f(x_2)$$. Nous devons montrer que :
$$\bigg( f(x_1) = f(x_2) \bigg) \Longrightarrow \bigg( x_1 = x_2\bigg)$$
Pour faire ceci, nous savons que l'application $$f$$ est supposée être surjective. Cette surjectivité supposée de $$f$$ nous permet d'affirmer qu'il existe toujours deux antécédents, noté $$a_1$$ et $$a_2$$ de l'ensemble $$E$$, tels que nous puyissions écrire :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x_1 & = & f(a_1) \\ x_2 & = & f(a_2) \\ \end{array} \right.$$
De même, la surjectivité de $$f$$ nous permet d'affirmer l'existence de deux antécédents, notés $$b_1$$ et $$b_2$$ de l'ensemble $$E$$, à $$a_1$$ et $$a_2$$, tels que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a_1 & = & f(b_1) \\ a_2 & = & f(b_2) \\ \end{array} \right. \,\,\, \stackrel{f}{\Longrightarrow} \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x_1 & = & f\big(f(b_1)\big) \\ x_2 & = & f\big(f(b_2)\big) \\ \end{array} \right. \,\,\, \stackrel{f}{\Longrightarrow} \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} f(x_1) & = & f\big(f\big(f(b_1)\big)\big) \\ f(x_2) & = & f\big(f\big(f(b_2)\big)\big) \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} f(x_1) & = & \big( f \circ f \circ f \big)(b_1) \\ f(x_2) & = & \big( f \circ f \circ f \big)(b_2) \\ \end{array} \right.$$
En faisant usage de la propriété de $$f$$, à savoir $$f \circ f \circ f = f$$, on obtient donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} f(x_1) & = & f(b_1) \\ f(x_2) & = & f(b_2) \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, on peut donc écrire que :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \big( f(b_1) = f(b_2) \big) \Longrightarrow \big( a_1 = a_2 \big) \stackrel{f}{\Longrightarrow} \big( f(a_1) = f(a_2) \big) \Longrightarrow \big( x_1 = x_2 \big)$$
Nous avons donc démontrer que :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \big( x_1 = x_2 \big)$$
Ce qui prouve que, sous l'hypothèse que l'application $$f$$ soit surjective, l'application $$f$$ est injective.
$${\color{red}{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\, Conclusion :}}}$$
Nous venons de démontrer, successivement, que $$\big( f \,\, \mathrm{injective} \big) \Longrightarrow \big( f \,\, \mathrm{surjective} \big)$$ puis $$\big( f \,\, \mathrm{injective} \big) \Longleftarrow \big( f \,\, \mathrm{surjective} \big)$$. Finalement, nous avons bien montré que :
$${\color{red}{\boxed{\big( f \,\, \mathrm{injective} \big) \Longleftrightarrow \big( f \,\, \mathrm{surjective} \big)}}}$$