L'expression
s(x)=x2+2x−1 représente un polynôme de degré
2. En ce sens
s est continue. Comme le nombre présent devant le terme
x2 es
1>0, cela signifie que
s est convexe. De fait le graphe représentatif de
s présente un minimum en
x=m∈R, tel que la dérivée première
s′ y soit nulle. Donc :
s′(m)=0⟺(2x+2)x=m=0⟺2m+2=0⟺2m=−2⟺m=−22⟺m=−1Le minimum vaut alors
s(m), avec :
s(m)=m2+2m−1=(−1)2+2×(−1)−1=1−2−1=−2Puis, on a :
x⟶±∞lims(x)=x⟶±∞lim(x2+2x−1)=x⟶±∞lim(x2)=+∞Donc ceci nous permet d'affirmer que dans l'intervalle
[−2;+∞[, chaque élément
y admet, au moins, un antécédent
x∈R. En effet, on constate bien ceci graphiquement :
Ce qui nous permet de conclure que l'intervalle
J recherché est donné par :
J=[−2;+∞[