On réfléchit ! (3) - Exercice 1

On considère les deux vecteurs orthonormés $$\vec{i}$$ et $$\vec{j}$$. Ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux, dans ce cas $$\vec{i} \bullet \vec{j} = 0$$. Et de fait $$p\big(\vec{i} \,;\, \vec{j}\big) = 0$$.
Mais, on sait également que :
$$p\big(\vec{0} \,;\, \vec{0}\big) = \vec{0} \bullet \vec{0} = 0$$
On a donc trouver deux couples différents, de deux vecteurs, qui conduisent aux même résultat en effectuant leur produit scalaire.
Autrement dit, on a donc trouver deux couples différents, de deux vecteurs, qui conduisent à la même image par l'application $$p$$.
On a donc trouver un contre exemple à l'assertion qui sert de définition à une application injective.
Finalement, l'application $$p$$ est non injective.

On sait que la norme euclidienne du $$\vec{i}$$ est égale à $$1$$. Donc, on en déduit que $$\vec{i} \bullet \vec{i} = 1$$.
Soit $$r \in \mathbb{R}$$, dans ce cas $$r\vec{i} \bullet \vec{i} = r \in \mathbb{R}$$, ce qui revient à écrire que $$p\big(r\vec{i} \,;\, \vec{i}\big) = r \in \mathbb{R}$$.
Ainsi, si $$r \in \mathbb{R}$$ est une image de l'application $$p$$ alors il est $${\color{red}{\bf{toujours \,\, possible \,\, de \,\, trouver}}}$$ un antécédent par l'application $$p$$. Cet antécédent est $$\big(r\vec{i} \,;\, \vec{i}\big) \in \mathcal{V}^2$$.
Finalement, l'application $$p$$ est surjective.