Soit
F une fonction dérivable sur l'intervalle
[0;1]. On cherche à savoir s'il existe toujours, au moins, une fonction continue
f∈C([0;1];R), antécédant par l'application
i, telle que
F=i(f) avec
F(x)=∫0xf(t)dt. Ainsi
F est la primitive de
f qui s'annule en
x=0.
Or, la fonction cosinus est bien dérivable sur l'intervalle
[0;1]. Donc choisissons l'image
F=cos∈D([0;1];R) mais la fonction cosinus ne s'annule pas en zéro, elle s'annule en
1. Et de fait, par l'application
i, il n'y a pas d'antécédent possible à l'image
F=cos.
Finalement
i n'est pas une application surjective.
On en déduit également que l'application
i n'est pas bijective.