Les applications

On réfléchit ! (1) - Exercice 1

45 min
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On continue à s'amuser !
On désigne par :
C([0;1];R)\bullet \,\, \mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) l'ensemble des fonctions réelles et continues sur l'intervalle [0;1][\,0\,;\,1\,] ;
D([0;1];R)\bullet \bullet \,\, \mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) l'ensemble des fonctions réelles et dérivables sur l'intervalle [0;1][\,0\,;\,1\,].
Soit ff une fonction appartenant à l'ensemble C([0;1];R)\mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) et FF une fonction appartenant à l'ensemble D([0;1];R)\mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big).
On note par ii l'application suivante :
i:{C([0;1];R)D([0;1];R)fF:{[0;1]RxF(x)=0xf(t)dti : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) & \longrightarrow & \mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) \\ & & \\ f & \longmapsto & F : \left\lbrace \begin{array}{rcl} [\,0\,;\,1\,] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & & \\ x & \longmapsto & F(x) = \displaystyle{\int_0^x} f(t) \, dt \end{array} \right. \\ \end{array} \right.
Question 1

Donner une relation d'inclusion entre les ensembles C([0;1];R)\mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) et D([0;1];R)\mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big).

Correction
On sait que toute fonction ff (univariée) qui est dérivable sur un intervalle réel II est nécessairement continue sur ce même intervalle II. Mais que la réciproque n'est pas vraie (par exemple, la fonction valeur absolue qui est continue sur R\mathbb{R} mais non dérivable en zéro car son graphe représentatif y présente un point anguleux qui a pour origine l'existence de deux nombres dérivés opposés (±1)(\pm 1) en ce même point origine).
Donc, on en déduit qu'il existe plus de fonctions réelles continues que de fonctions réelles dérivables. Ainsi on a :
card(D([0;1];R))<card(C([0;1];R))\mathrm{card} \left( \mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) \right) < \mathrm{card} \left( \mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) \right)
Finalement, on peut conclure que l'on a la relation d'inclusion suivante :
D([0;1];R)C([0;1];R)\color{red}{\boxed{\mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) \subset \mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big)}}
Question 2

Etudier l'injectivité de l'application ii.

Correction
Soit x[0;1]x \in [\,0\,;\,1\,].
Soit t[0;x]t \in [\,0\,;\,x\,].
Soit ff une fonction de l'ensemble C([0;1];R)\mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big).
Le TheˊoreˋmeFondamentaldelAnalyse(T.F.A.){\color{red}{\bf{Théorème \,\, Fondamental \,\, de \,\, l'Analyse \,\, (T.F.A.)}}} nous apprend que si ff est une fonction continue, alors F:xF(x)=0xf(t)dtF : x \longmapsto F(x) = \displaystyle{\int_0^x} f(t) \, dt est dérivable sur [0;x][0\,;\,x] et est lunique{\color{red}{\bf{l'unique}}} primitive de ff qui s'annule en 00, donc vérifiant : F=fF' = f.
On considère f1f_1 et f2f_2 deux fonctions de l'ensemble C([0;1];R)\mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big). On a alors :
(f1f2)(0xf1(t)dt0xf2(t)dt)(i(f1)i(f2))\big( f_1 \neq f_2 \big) \Longrightarrow \bigg( \displaystyle{\int_0^x} f_1(t) \, dt \neq \displaystyle{\int_0^x} f_2(t) \, dt \bigg) \Longrightarrow \bigg( i\big( f_1 \big) \neq i\big( f_2 \big) \bigg)
Donc l'application ii est injective.
Question 3

Etudier la surjectivité de l'application ii.

Correction
Soit FF une fonction dérivable sur l'intervalle [0;1][0\,;\,1]. On cherche à savoir s'il existe toujours, au moins, une fonction continue fC([0;1];R)f \in \mathcal{C}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big), antécédant par l'application ii, telle que F=i(f)F = i(f) avec F(x)=0xf(t)dtF(x) = \displaystyle{\int_0^x} f(t) \, dt. Ainsi FF est la primitive de ff qui s'annule en x=0x = 0.
Or, la fonction cosinus est bien dérivable sur l'intervalle [0;1][0\,;\,1]. Donc choisissons l'image F=cosD([0;1];R)F = \cos \in\mathcal{D}\big( [\,0\,;\,1\,] \,;\, \mathbb{R} \big) mais la fonction cosinus ne s'annule pas en zéro, elle s'annule en 11. Et de fait, par l'application ii, il n'y a pas d'antécédent possible à l'image F=cosF = \cos.
Finalement ii n'est pas une application surjective.
On en déduit également que l'application ii n'est pas bijective.