Injective / Surjective : Exercice $$7$$ - Exercice 1

On constate que les deux nombres réels $$x$$ et $$y$$ jouent des rôles symétriques. En effet, l'addition et la multiplications sont des opérations commutatives avec les nombres réels. Donc on a :
$$f(x\,;\,y) = f(y\,;\,x) = (xy \,;\, x+y)$$
On a alors :
$$\big( (x\,;\,y) \neq (y\,;\,x) \big) \Longrightarrow \big( f(x\,;\,y) = f(y\,;\,x) \big)$$
Donc $$f$$ n'est pas injective.

Soit $$P$$ et $$S$$ deux nombres réels.
On considère l'image $$(P\,;\,S) \in \mathbb{R}^2$$. Soit $$x$$ et $$y$$ deux réels qui forment le couple $$(x\,;\,y)$$ antécédent de l'image $$(P\,;\,S)$$ par $$f$$. On a alors :
$$\big( f(x\,;\,y) = (P\,;\,S) \big) \Longleftrightarrow \big( (xy \,;\, x+y)= (P\,;\,S) \big) \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rcl} xy & = & P \\ x + y & = & S \\\end{array} \right.$$
Donc, avec $$x \neq 0$$, $$y = \dfrac{P}{x}$$, et de fait $$x +\dfrac{P}{x} = S$$. Donc $$x^2 + P = Sx$$. Finalement :
$$x^2 - Sx + P = 0$$
Cette équation n'a pas de solution réelle lorsque $$\Delta = (-S)^2 - 4P < 0$$. Autrement dit, lorsque $$4P > S^2$$ il est alors impossible de trouver un réel $$x$$ tel que $$x^2 - Sx + P = 0$$. Il est alors également impossible d'avoir une valeur réelle de $$y$$.
On peut donc affirmer que certaine image n'admettent pas d'antécédent (c'est le cas de $$(1\,;\,0)$$) par $$f$$.
Ainsi l'application $$f$$ n'est pas surjective.