Injective / Surjective : Exercice $$6$$ utilisation des nombres complexes - Exercice 1

Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ deux nombres complexes appartenant à l'ensemble $$\mathbb{C} \setminus \{-1\}$$.
On a :
$$\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( z_1 + z_1 z_2 \neq z_2 + z_1 z_2 \big) \Longrightarrow \big( z_1 (1 + z_2) \neq z_2 (1 + z_1) \big) \Longrightarrow \left( \dfrac{z_1}{1 + z_1} \neq \dfrac{z_2}{1 + z_2} \right) \Longrightarrow \big( f(z_1) \neq f(z_2) \big)$$
Donc l'application $$f$$ est injective.

On considère l'image $$y = 1 \in \mathbb{C}$$. Autrement dit $$f(z) = 1 \in \mathbb{C}$$. Ainsi :
$$\dfrac{z}{1+z} = 1$$
Ce qui nous donne :
$$z = 1 + z$$
Soit encore :
$$0 = 1$$
Ce qui est clairement faux. Donc l'image $$y = 1 \in \mathbb{C}$$ n 'a pas d'antécédent par l'application $$f$$. Donc, cette dernière n'est pas surjective.
De fait, l'application $$f$$ n'est pas bijective.