Les applications

Injective / Surjective : Exercice 55 - Exercice 1

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On note par E(x)E(x) la partie entière du nombre réel xx. Il s'agit de l'unique entier relatif nn qui vérifie n⩽x<n+1n \leqslant x < n+1.
Autrement dit, la partie entière de xx est le plus grand entier nn qui est inférieur ou égal à xx.
Ainsi, par exemple, E(π)=3E(\pi) = 3 et E(−π)=−5E(-\pi) = -5.
Mais également, E(3)=3E(3) = 3 et E(−5)=−5E(-5) = -5.
Le graphe représentatif est donné par :
Question 1

On considère l'application d:{R⟶[0 ; 1[x⟼y=d(x)=x−E(x)d : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & [0 \,;\,1[ \\ x & \longmapsto & y = d(x) = x - E(x) \\ \end{array} \right..
Il s'agit de l'application qui explicite la partie décimale du réel xx. Son graphe représentatif est :

Etudier l'injectivité de l'application dd.

Correction
Soit xx un nombre réel. On sait que :
E(x)⩽x<E(x)+1E(x) \leqslant x < E(x)+1
Donc :
E(x)−E(x)⩽x−E(x)<E(x)+1−E(x)E(x) - E(x) \leqslant x - E(x) < E(x) + 1 - E(x)
Soit :
0⩽d(x)<10 \leqslant d(x) < 1
Donc si x∈Rx \in \mathbb{R} alors d(x)∈[0 ; 1[d(x) \in [0 \,;\,1[.
Soit N∈ZN \in \mathbb{Z}, dans ce cas N+1∈ZN + 1 \in \mathbb{Z}.
On constate alors que d(N)=d(N+1)=0d(N) = d(N+1) = 0.
On a donc démontrer que :
∀N∈Z⊂R,  (d(N)=d(N+1))⟹(N≠N+1)\forall N \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}, \,\, \big( d(N) = d(N+1) \big) \Longrightarrow \big( N \neq N+1 \big)
Donc dd n'est pas injective.
Question 2

Etudier la surjectivité de l'application dd.

Correction
Soit y=d(x)∈[0 ; 1[y = d(x) \in [0 \,;\,1[. Donc y=(x−E(x))∈[0 ; 1[y = \big( x - E(x) \big) \in [0 \,;\,1[.
On en déduit immédiatement que E(y)=0E(y) = 0.
Donc on a d(y)=y−E(y)d(y) = y - E(y), ce qui nous conduit à d(y)=yd(y) = y.
Il est donc toujours possible d'obtenir (au moins) un antécédent à l'image y∈[0 ; 1[y \in [0 \,;\,1[.
C'est pourquoi l'application dd est surjective.
C'est bien ce que l'on constate visuellement sur le graphe de l'application dd.