Les applications

Injective / Surjective : Exercice 44 utilisation des nombres complexes - Exercice 1

20 min
35
Pour continuer son apprentissage.
Question 1
Soit ii le nombre complexe tel que i2=−1i^2 = -1. Soit zz un nombre complexe qui s'écrit z=Reˊ(z)+i ℑm(z)z = \R\mathrm{é}(z) + i \, \Im \mathrm{m}(z). Avec Reˊ(z)∈R\R\mathrm{é}(z) \in \mathbb{R} et ℑm(z)∈R\Im \mathrm{m}(z) \in \mathbb{R}.
On considère l'application f:{C⟶R+z⟼∣z∣=(Reˊ(z))2+(ℑm(z))2f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{R}^+ \\ z & \longmapsto & |z| = \sqrt{\big( \R\mathrm{é}(z) \big)^2 + \big( \Im \mathrm{m}(z) \big)^2} \\ \end{array} \right..

Etudier l'injectivité de ff.

Correction
Soit mm un nombre réel positif ou nul. Géométriquement, dans le plan complexe, l'égalité ∣z∣=m|z| = m à pour solution tous les nombres complexes zz qui se trouvent sur le cercle de centre O(0 ; 0)O(0\,;\,0) et de rayon mm. Autrement dit, il y a une infinité de nombres complexes distincts zz qui ont le même module mm.
Soit z1z_1 et z2z_2 deux nombres complexes distincts qui se situent dans le plan complexe sur le cercle de centre O(0 ; 0)O(0\,;\,0) et de rayon mm. Donc ∣z1∣=∣z2∣=m|z_1| = |z_2|= m. On a alors :
(z1≠z2)⟹(∣z1∣=∣z2∣)\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( |z_1| = |z_2| \big)
Autrement écrit :
(z1≠z2)⟹(f(z1)=f(z2))\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( f(z_1) = f(z_2) \big)
Donc l'application ff n'est pas injective
Question 2

Etudier la surjectivité de ff.

Correction
Soit m>0m > 0. Il est toujours possible d'interpréter mm comme étant, dans le plan complexe, le rayon d'un cercle de centre O(0 ; 0)O(0\,;\,0) et de rayon mm. Et comme sur ce cercle il y a une infinité de nombre complexes distincts zz, cela signifie qu'à toute image réelle de l'application ff il est toujours possible de trouver au moins un antécédant z∈Cz \in \mathbb{C}. Donc l'application ff étudiée est surjective.
Donc ff n'est pas bijective.