Injective / Surjective : Exercice $$4$$ utilisation des nombres complexes - Exercice 1

Soit $$m$$ un nombre réel positif ou nul. Géométriquement, dans le plan complexe, l'égalité $$|z| = m$$ à pour solution tous les nombres complexes $$z$$ qui se trouvent sur le cercle de centre $$O(0\,;\,0)$$ et de rayon $$m$$. Autrement dit, il y a une infinité de nombres complexes distincts $$z$$ qui ont le même module $$m$$.
Soit $$z_1$$ et $$z_2$$ deux nombres complexes distincts qui se situent dans le plan complexe sur le cercle de centre $$O(0\,;\,0)$$ et de rayon $$m$$. Donc $$|z_1| = |z_2|= m$$. On a alors :
$$\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( |z_1| = |z_2| \big)$$
Autrement écrit :
$$\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( f(z_1) = f(z_2) \big)$$
Donc l'application $$f$$ n'est pas injective

Soit $$m > 0$$. Il est toujours possible d'interpréter $$m$$ comme étant, dans le plan complexe, le rayon d'un cercle de centre $$O(0\,;\,0)$$ et de rayon $$m$$. Et comme sur ce cercle il y a une infinité de nombre complexes distincts $$z$$, cela signifie qu'à toute image réelle de l'application $$f$$ il est toujours possible de trouver au moins un antécédant $$z \in \mathbb{C}$$. Donc l'application $$f$$ étudiée est surjective.
Donc $$f$$ n'est pas bijective.