Injective / Surjective : Exercice $$3$$ utilisation des nombres complexes - Exercice 1

Soit $$z_1 = \R\mathrm{é}(z_1) + i \, \Im \mathrm{m}(z_1)$$ et $$z_2 = \R\mathrm{é}(z_2) + i \, \Im \mathrm{m}(z_2)$$.
On suppose $$z_1 \neq z_2$$. Dans ce cas, on a :
$$\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( \R\mathrm{é}(z_1) + i \, \Im \mathrm{m}(z_1) \neq \R\mathrm{é}(z_2) + i \, \Im \mathrm{m}(z_2) \big) \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rcl} \R\mathrm{é}(z_1) & \neq & \R\mathrm{é}(z_2) \\ \Im \mathrm{m}(z_1) & \neq & \Im \mathrm{m}(z_2) \end{array} \right.$$
Donc, on a donc :
$$\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \bigg( \big( \R\mathrm{é}(z_1) \,;\, \Im \mathrm{m}(z_1) \big) \neq \big( \R\mathrm{é}(z_2) \,;\, \Im \mathrm{m}(z_2) \big) \bigg)$$
Donc $$f$$ est injective.

Soit $$\alpha = \R\mathrm{é}(z) \in \mathbb{R}$$ et $$\beta = \Im \mathrm{m}(z) \in \mathbb{R}$$.
A partir des deux réels $$\alpha$$ et $$\beta$$ on peut toujours écrire un nombre complexe sous la forme $$z = \alpha + i \, \beta$$. Autrement dit, on il est toujours possible d'écrire que $$z = \R\mathrm{é}(z) + i \, \Im \mathrm{m}(z)$$.
Autrement dit, $$f$$ est surjective.
De fait, $$f$$ est une bijection.