Les applications

Injective / Surjective : Exercice 33 utilisation des nombres complexes - Exercice 1

30 min
45
Soit ii le nombre complexe tel que i2=−1i^2 = -1. Soit zz un nombre complexe qui s'écrit z=Reˊ(z)+i ℑm(z)z = \R\mathrm{é}(z) + i \, \Im \mathrm{m}(z).
On considère l'application f:{C⟶R2z⟼(Reˊ(z) ; ℑm(z))f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ z & \longmapsto & \big( \R\mathrm{é}(z) \,;\, \Im \mathrm{m}(z) \big) \\ \end{array} \right..
Question 1

Etudier l'injectivité de ff.

Correction
Soit z1=Reˊ(z1)+i ℑm(z1)z_1 = \R\mathrm{é}(z_1) + i \, \Im \mathrm{m}(z_1) et z2=Reˊ(z2)+i ℑm(z2)z_2 = \R\mathrm{é}(z_2) + i \, \Im \mathrm{m}(z_2).
On suppose z1≠z2z_1 \neq z_2. Dans ce cas, on a :
(z1≠z2)⟹(Reˊ(z1)+i ℑm(z1)≠Reˊ(z2)+i ℑm(z2))⟹{Reˊ(z1)≠Reˊ(z2)ℑm(z1)≠ℑm(z2)\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( \R\mathrm{é}(z_1) + i \, \Im \mathrm{m}(z_1) \neq \R\mathrm{é}(z_2) + i \, \Im \mathrm{m}(z_2) \big) \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rcl} \R\mathrm{é}(z_1) & \neq & \R\mathrm{é}(z_2) \\ \Im \mathrm{m}(z_1) & \neq & \Im \mathrm{m}(z_2) \end{array} \right.
Donc, on a donc :
(z1≠z2)⟹((Reˊ(z1) ; ℑm(z1))≠(Reˊ(z2) ; ℑm(z2)))\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \bigg( \big( \R\mathrm{é}(z_1) \,;\, \Im \mathrm{m}(z_1) \big) \neq \big( \R\mathrm{é}(z_2) \,;\, \Im \mathrm{m}(z_2) \big) \bigg)
Donc ff est injective.
Question 2

Etudier la surjectivité de ff.

Correction
Soit α=Reˊ(z)∈R\alpha = \R\mathrm{é}(z) \in \mathbb{R} et β=ℑm(z)∈R\beta = \Im \mathrm{m}(z) \in \mathbb{R}.
A partir des deux réels α\alpha et β\beta on peut toujours écrire un nombre complexe sous la forme z=α+i βz = \alpha + i \, \beta. Autrement dit, on il est toujours possible d'écrire que z=Reˊ(z)+i ℑm(z)z = \R\mathrm{é}(z) + i \, \Im \mathrm{m}(z).
Autrement dit, ff est surjective.
De fait, ff est une bijection.