Injective / Surjective : Exercice $$2$$ - Exercice 1

On a :
$$\lim_{x \longrightarrow \pm \infty} f(x) = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \dfrac{x}{1+|x|} = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \dfrac{x}{|x|} = \pm 1^{\mp}$$
Les deux droites horizontales d'équation respectives $$y = 1$$ et $$y=-1$$ sont donc des asymptotes horizontales au graphe de cette application $$f$$.
Puis :
$$\bullet \,\,$$ si $$x \geqslant 0$$ alors $$f(x) = \dfrac{x}{1+x}$$ et $$f'(x) = \left( \dfrac{1}{x+1} \right)^2 > 0$$ ce qui implique que $$f$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^{+}$$ ;
$$\bullet \bullet \,\,$$ si $$x < 0$$ alors $$f(x) = \dfrac{x}{1-x}$$ et $$f'(x) = \left( \dfrac{1}{x-1} \right)^2 > 0$$ ce qui implique que $$f$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^{-\star}$$.
Donc $$f$$ est continue et strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$. Donc $$f$$ réalise une bijection de $$\mathbb{R}$$ dans $$]-1 \,;\,1[$$ (attention au sens des crochets pour la surjection). Et de fait, $$f$$ est injective.
En effet, soit $$x_1$$ et $$x_2$$ deux réels.
Si on a $$x_1 \neq x_2$$ alors on en déduit que $$\dfrac{x_1}{1+|x_1|} \neq \dfrac{x_2}{1+|x_2|}$$ soit $$f(x_1) \neq f(x_2)$$.
On a donc démontrer que :
$$\forall (x_1 \,;\, x_2) \in \mathbb{R}^2, \,\, \big( x_1 \neq x_2 \big) \Longrightarrow \big( f(x_1) \neq f(x_2) \big)$$
Donc $$f$$ est injective.

On considère l'application $$f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & [-1 \,;\,1] \\ x & \longmapsto & y = f(x) = \dfrac{x}{1+|x|} \\ \end{array} \right.$$.
Donc, l'image $$y = f(x) = 1$$ conduit à $$1 = \dfrac{x}{1+|x|}$$, soit $$1+|x| = x$$.
Or on a :
$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} f(x) = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{1+|x|} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{1+x} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{x}{x} = 1$$
Donc $$y = 1$$ impose $$x > 0$$. Ainsi on obtient l'égalité $$1+x = x$$ soit $$1=0$$ qui est impossible.
On a donc montrer que l'image $$y=1$$ n'admet pas d'antécédent par $$f$$ et de fait l'application $$f$$ étudiée n'est pas surjective.
Ceci est bien confirmé par le graphe de cette application :