Exercice 9 : Démontrer que l'intégrale L=∫1∞cos⁡xx2dx\mathcal{L} = \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx est absolument convergente - Exercice 1

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Pour se rassurer, c'est facile !
Question 1

Soit xx un nombre réels tel que x⩾1x \geqslant 1.
Démontrer que l'intégrale L=∫1∞cos⁡xx2dx\mathcal{L} = \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx est absolument convergente

Correction
On a :
∀x⩾1,     ∣cos⁡x∣⩽1     ⟺     ∣cos⁡xx2∣⩽1x2\forall x \geqslant 1, \,\,\,\,\, | \cos x | \leqslant 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \leqslant \dfrac{1}{x^2}
Donc, en intégrant :
∫1∞∣cos⁡xx2∣ dx⩽∫1∞1x2 dx\int_{1}^{\infty} \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \, dx \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx
Or l'intégrale majorante ∫1∞1x2dx\displaystyle{\int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} dx} converge (car c'est une intégrale de Riemann\textit{Riemann} de puissance 22). Donc on peut écrire que :
∫1∞∣cos⁡xx2∣ dx   converge     ⟹     ∫1∞cos⁡xx2 dx   converge  absolument\int_{1}^{\infty} \left| \dfrac{\cos x}{x^2}\right| \, dx \,\,\, \mathrm{converge}\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} \, dx \,\,\, \mathrm{converge \,\, absolument}
Or, l'absolue convergence implique la convergence. Ainsi, l'intégrale L\mathcal{L} converge.

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