Exercice 8 : Étudier la convergence de l'intégrale $$\mathcal{K}$$ suivante : $$\mathcal{K} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{1- \cos x}{x^2} dx$$ - Exercice 1

On peut écrire que :
$$\mathcal{K} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{1- \cos x}{x^2} dx = \int_{0}^{\pi} \dfrac{1- \cos x}{x^2} dx + \int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} dx$$
Or l'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} dx}$$ converge puisque $$\lim_{x\longrightarrow 0^+} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$$ et que, sur l'intervalle $$]0\,;\,\pi]$$, la fonction $$x \longmapsto \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$$ est continue donc intégrable.
En conséquence, l'intégrale $$\int_{0}^{\pi} \dfrac{1- \cos x}{x^2} dx$$ est de nature convergente.
Puis, on sait que $$\forall x \in \mathbb{R}, \,\,\, 1 - \cos x \leqslant 2$$. Donc :
$$\forall x \in [\pi \,; \, +\infty[, \,\,\,\dfrac{1 - \cos x}{x^2} \leqslant \dfrac{2}{x^2} \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} dx \leqslant\int_{\pi}^{\infty} \dfrac{2}{x^2} dx$$
Soit :
$$\int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} dx \leqslant 2 \int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} dx$$
Or l'intégrale majorante $$\displaystyle{\int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1}{x^2} dx}$$ converge (car c'est une intégrale de $$\textit{Riemann}$$ de puissance $$2$$). Donc en en déduit que l'intégrale $$\displaystyle{\int_{\pi}^{\infty} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} dx}$$ converge également.
De ce fait, l'intégrale $$\mathcal{K}$$ converge.