Exercice 7 : Etudier la nature de l'intégrale $$\mathcal{J}$$ suivante : $$\mathcal{J} = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$$ - Exercice 1

Soit $$x \geqslant 0$$.
On a :
$$\mathcal{J} = \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx + \int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$$
La fonction $$x \longmapsto e^{-x^2}$$ est continue sur $$\mathbb{R}^+$$ donc elle est localement intégrable. L'intégrale $$\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$$ converge donc.
Soit $$t$$ un nombre réel supérieur ou égal à $$1$$. On a :
$$t \leqslant t^2$$
Donc :
$$-t \geqslant -t^2$$
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$ alors elle y conserve l'ordre. Ainsi, on a :
$$e^{-t} \geqslant e^{-t^2}$$
Or l'intégrale $$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \int_{1}^{x} e^{-t} dt$$ est de nature converge. D'après ce qui précède, cette dernière intégrale majore l'intégrale $$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \int_{1}^{x} e^{-t^2} dt$$. Ainsi cette intégrale est de nature convergente.
Or, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \int_{1}^{x} e^{-t^2} dt = \int_{1}^{+\infty} e^{-t^2} dt$$
Cela nous permet d'affirmer que l'intégrale $$\int_{1}^{\infty} e^{-x^2} dx$$ est de nature convergente.
Finalement, on vient de démontrer que l'intégrale $$\mathcal{J} = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$$ est elle même convergente.