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Exercice 6 - Exercice 1

15 min
25
Et on continue l'entrainement.
Question 1
Soit xx un nombre réel tel que x⩾1x \geqslant 1.

Etudier la convergence de l'intégrale I=∫1∞x3x4+5x2+1 dx\mathcal{I} =\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \, dx.

Correction
Si x⩾1x \geqslant 1 alors 3x4+5x2+1⩾x43x^4 + 5x^2 + 1 \geqslant x^4, donc 13x4+5x2+1⩽1x4\dfrac{1}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{x^4}. De ce fait, on a pour x⩾1x\geqslant 1 :
x3x4+5x2+1⩽xx4     ⟺     x3x4+5x2+1⩽1x3\dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x^4} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{x^3}
En intégrant :
∫1∞x3x4+5x2+1dx⩽∫1∞1x3dx     ⟺     I⩽∫1∞1x3dx\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} dx \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^3} dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{I} \leqslant \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^3} dx

Or, l'intégrale majorante converge (Riemann de puissance (\textit{Riemann de puissance }3)). D'après le critère de comparaison, l'intégrale I\mathcal{I} converge également.

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