Exercice 3 : Déterminer si l'intégrale généralisée $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx$$ est convergente - Exercice 1

Soit $$x \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[$$. Sur cet intervalle, la fonction $$x \longmapsto \tan(x)$$ est continue, donc localement intégrable. En outre, on a la limite suivante $$\lim_{x \longrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^-} \tan(x) = + \infty$$.
Avec $$x \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[$$, on a :
$$\int_0^{x} \tan(t) \, dt = \int_0^{x} \dfrac{\sin(t)}{\cos(t)} \, dt = \int_0^{x} \dfrac{\big( -\cos(t) \big)'}{\cos(t)} \, dt = - \int_0^{x} \dfrac{\cos'(t)}{\cos(t)} \, dt = - \left[ \ln \big( \cos(t) \big) \right]_0^{x} = \left[ \ln \big( \cos(t) \big) \right]_x^{0}$$
Ainsi :
$$\int_0^{x} \tan(t) \, dt = \ln \big( \cos(0) \big) - \ln \big( \cos(x) \big) = \ln \big( 1 \big) - \ln \big( \cos(x) \big) = 0 - \ln \big( \cos(x) \big)$$
Donc :
$$\int_0^{x} \tan(t) \, dt = - \ln \big( \cos(x) \big)$$
On peut donc écrire que :
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx = \lim_{x \longrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^-} \int_0^{x} \tan(t) \, dt = \lim_{x \longrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^-} \left( - \ln \big( \cos(x) \big) \right) = - \lim_{x \longrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^-} \ln \big( \cos(x) \big) = - \left( - \infty \right) = + \infty$$
En conséquence immédiate, nous pouvons finalement affirmer que l'intégrale généralisée $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx$$ est de nature divergente.