Exercice 2 - Exercice 1

Lorsque $$X \longrightarrow 0$$, on sait que :
$$\sin(X) \underset{0}{\sim}X$$
Mais également que :
$$\cos(X) \underset{0}{\sim} 1- \dfrac{1}{2}X^2$$
De fait, lorsque $$t \longrightarrow +\infty$$ alors $$\dfrac{1}{t} \longrightarrow 0$$ et $$\dfrac{1}{\ln(t)} \longrightarrow 0$$ ; ainsi on a :
$$\sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{\ln^2(t)}$$
Mais aussi :
$$\ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \underset{+\infty}{\sim} \ln \left( 1- \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t}\right)^2 \right)$$
Lorsque $$X \longrightarrow 0$$, on sait que :
$$\ln(1-X) \underset{0}{\sim} -X$$
Donc :
$$\ln \left( 1- \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t}\right)^2 \right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{2t^2}$$
En outre, on a puisque $$t \geqslant 2$$ :
$$\sqrt{t^2 + 3t} = \sqrt{t^2\left( 1 + \dfrac{3t}{t^2} \right) } = \sqrt{t^2} \times \sqrt{ 1 + \dfrac{3}{t} } = t \times \sqrt{ 1 + \dfrac{3}{t} } = t \times \left( 1 + \dfrac{3}{t} \right)^{\frac{1}{2}}$$
On sait que lorsque $$X \longrightarrow 0$$ on a
$$\left( 1 + X \right)^{\frac{1}{2}} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}X^2$$
Donc lorsque $$t \longrightarrow +\infty$$ alors $$\dfrac{1}{t} \longrightarrow 0$$ et on a :
$$\left( 1 + \dfrac{3}{t} \right)^{\frac{1}{2}} \underset{+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{3}{2t}$$
Ce qui implique que :
$$t \times \left( 1 + \dfrac{3}{t} \right)^{\frac{1}{2}} \underset{+\infty}{\sim} t + \dfrac{3}{2} \underset{+\infty}{\sim} t$$
De tout ceci, nous pouvons donc écrire que :
$$\sqrt{t^2 + 3t} \ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \underset{+\infty}{\sim} t \times \dfrac{1}{2t^2} \times \dfrac{1}{\ln^2(t)}$$
En simplifiant :
$$\sqrt{t^2 + 3t} \ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{2t} \times \dfrac{1}{\ln^2(t)}$$
Soit :
$$\sqrt{t^2 + 3t} \ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{t\ln^2(t)}$$
Or, on sait que l'intégrale $$\displaystyle{\int_2^{\infty}} \dfrac{1}{t\ln^2(t)} \, dt$$ est une intégrale de Bertrand qui est de nature convergente.
Finalement, de ce qui précède, on peut affirmer que l'intégrale $$\displaystyle{\int_2^{\infty}} \sqrt{t^2 + 3t} \ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \, dt$$ est elle même de nature convergente.