Exercice 12 : Démontrer que l'intégrale $$\mathcal{P} = \int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{x} \sin \left( \dfrac{1}{x}\right) dx$$ est semi-converge - Exercice 1

On a l'intégrale généralisée $$\mathcal{P}$$ suivante :
$$\mathcal{P} = \int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{x} \sin \left( \dfrac{1}{x}\right) dx$$
Posons $$x = \dfrac{1}{t}$$. Dans ce cas, on a $$\dfrac{dx}{dt} = - \dfrac{1}{t^2}$$, d'où
$$dx = - \dfrac{1}{t^2} dt$$. Puis, $$t=\dfrac{1}{x}$$. Donc lorsque $$x \longrightarrow 0^+$$ alors $$t \longrightarrow +\infty$$. Et lorsque $$x = \pi$$ alors $$t = \dfrac{1}{\pi}$$. D'où :
$$\mathcal{P} = - \int_{+\infty}^{\frac{1}{\pi}} t \sin t \dfrac{1}{t^2} dt \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\mathcal{P} = \int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t} dt$$
Donc, il nous suffit maintenant d'écrire :
$$\mathcal{P} = \int_{\frac{1}{\pi}}^{0} \dfrac{\sin t}{t} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t} dt \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{P} = - \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \dfrac{\sin t}{t} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t} dt$$
Finalement :
$$\mathcal{P} = - \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \dfrac{\sin t}{t} dt + \mathcal{D}$$
Or, l'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \dfrac{\sin t}{t} dt}$$ converge ; mais on sait que l'intégrale de $$\textit{Dirichlet}$$ $$\mathcal{D}$$ est semi-convergente (d'après un des exercices précédents). Donc on peut en conclure que l'intégrale $$\mathcal{P}$$ est elle même semi-convergente.