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Exercice 11 - Exercice 1

30 min
45
Toujours pour développer ses compétences.
Question 1
Il s'agit dans cet exercice de découvrir la notion de valeur principale.

Déterminer la valeur (principale de Cauchy\textit{Cauchy}) de l'intégrale C\mathcal{C} suivante :
C=∫−151(x−1)3dx\mathcal{C} = \int_{-1}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx
Vous penserez à décomposer astucieusement le domaine d'intégration afin d'éviter la singularité qui est associée à la nullité du dénominateur.

Correction
On a une singularité en x=1x=1. Donc, on a écrire :
C=∫−151(x−1)3dx=lim⁡ε⟶0+(∫−11−ε1(x−1)3dx+∫1+ε51(x−1)3dx)\mathcal{C} = \int_{-1}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( \int_{-1}^{1-\varepsilon} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx + \int_{1+\varepsilon}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx \right)
Soit encore :
C=∫−151(x−1)3dx=lim⁡ε⟶0+(∫−11−ε(x−1)′(x−1)−3dx+∫1+ε5(x−1)′(x−1)−3dx)\mathcal{C} = \int_{-1}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx = \lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( \int_{-1}^{1-\varepsilon} (x-1)'(x-1)^{-3} dx + \int_{1+\varepsilon}^{5} (x-1)'(x-1)^{-3} dx \right)
D'où :
C=lim⁡ε⟶0+(−12∫−11−ε(−2)(x−1)′(x−1)−2−1dx−12∫1+ε5(−2)(x−1)′(x−1)−2−1dx)\mathcal{C} = \lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( - \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1-\varepsilon} (-2)(x-1)'(x-1)^{-2-1} dx - \dfrac{1}{2}\int_{1+\varepsilon}^{5} (-2)(x-1)'(x-1)^{-2-1} dx \right)
Ce qui nous donne :
C=−12lim⁡ε⟶0+([(x−1)−2]−11−ε+[(x−1)−2]1+ε5)\mathcal{C} = -\dfrac{1}{2}\lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( [(x-1)^{-2}]_{-1}^{1-\varepsilon} + [(x-1)^{-2}]_{1+\varepsilon}^{5} \right)
Soit :
C=−12lim⁡ε⟶0+((−ε)−2−(−2)−2+4−2−(−ε)−2)=−12lim⁡ε⟶0+(−14+116)\mathcal{C} = -\dfrac{1}{2}\lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( (-\varepsilon)^{-2} - (-2)^{-2} + 4^{-2} - (-\varepsilon)^{-2}\right) = -\dfrac{1}{2}\lim_{ \varepsilon \longrightarrow 0^+} \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} \right)
Finalement, on obtient :
C=∫−151(x−1)3dx=332\mathcal{C} = \int_{-1}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx = \dfrac{3}{32}

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