Cours Intégrales généralisées

La notion d'intégrale définie jusqu'à présent concerne des fonctions continues par morceaux, donc bornées, sur des segments. Dans ce chapitre, la notion d'intégrale est étendue à des situations plus générales.

$${\color{red}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Cas d'une fonction non bornée sur un intervalle borné}}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$f$$ une fonction numérique univariée définie sur l'intervalle réel $$]a \,;\,b]$$, avec $$a<b$$, et qui est localement intégrable. Être localement intégrable signifie que l'on a une intégrable qui est définie sur tout segment contenu dans $$]a \,;\,b]$$.
On dit que $$f$$ est $$\textit{d'intégrale convergente}$$ sur l'intervalle $$]a \,;\,b]$$ si la fonction $$x \longmapsto \displaystyle{\int_x^b f(t) \, dt}$$ possède une limite (non infinie) lorsque $$x$$ tend vers $$a$$. Dans ce cas, cette limite est notée $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ et on dira que l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ est convergente ou existe.
Dans le cas contraire, on dira que $$f$$ n'est pas d'intégrale convergente sur l'intervalle $$]a \,;\,b]$$. On dit alors que l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ est divergente ou n'existe pas.
Les intégrales de références sont :
$$\int_0^1 \dfrac{1}{t^\alpha} \, dt$$ est convergente si et seulement si $$\alpha < 1$$. C'est l'intégrale de $$\textit{Bernhard Riemann}$$.
$$\int_0^1 \ln(t) \, dt$$ est convergente.
L'intégrale ainsi généralisée possède le même propriété de linéarité que l'intégrale définie.
Si $$f$$ est localement intégrable sur l'intervalle $$]a \,;\,b]$$ et a une limite en $$a$$, alors elle possède une intégrale définie sur l'intervalle $$[a \,;\,b]$$ égale à $$\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow a}} \displaystyle{\int_x^b f(t) \, dt}$$. Dans un tel cas , le problème de la convergence de l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ ne se pose pas.
Il est alors possible de généraliser, et c'est ce qui va être expliqué ci-après.
Si $$f$$ est localement intégrable sur l'intervalle réel $$[a \,;\,b[$$, avec $$a<b$$, et non bornée en $$b$$, on définit de manière analogue le symbole $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$.
Si $$f$$ est localement intégrable sur l'intervalle réel $$]a \,;\,b[$$, avec $$a<b$$, non bornée au voisinage de chacune des extrémités $$a$$, $$b$$, on se ramène à ce qui précède en considérant un point $$c \in ]a \,;\,b[$$ quelconque et en posant :
$$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt} = \displaystyle{\int_a^c f(t) \, dt} + \displaystyle{\int_c^b f(t) \, dt}$$
L'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ est déclarée convergente si les deux intégrales $$\displaystyle{\int_a^c f(t) \, dt}$$ et $$\displaystyle{\int_c^b f(t) \, dt}$$ sont simultanément convergentes. Elle sera déclarée divergente si l'une, au moins, des deux intégrales diverge. Le choix de $$c$$ est indifférent.
$${\color{blue}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \textbf{Règles de convergence}}}$$
L'étude de la convergence d'une intégrale généralisée d'une fonction nécessite le calcul d'une primitive, très souvent difficile, sinon impossible.
En pratique, on dispose de règles qui permettent de décider de la nature de l'intégrale. Dans de nombreux cas, par comparaison de $$f$$ à une fonction plus simple peut se révéler être une méthode très efficace. Le calcul de l'intégrale peut ensuite, être entrepris ; soit de manière approchée, soit de manière numérique ou encore de manière exacte. Bien souvent il s'agira de méthodes indirectes.
$${\color{green}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Cas des fonctions positives : théorème de comparaison}}}$$
Si $$f$$ et $$g$$ sont deux fonctions numériques réelles univariées, qui sont localement intégrables sur l'intervalle réel $$]a \,;\,b]$$, avec $$a<b$$, vérifiant
$$\forall x \in ]a \,;\,b], \,\,\, 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$$
alors :
1) $$\left( \displaystyle{\int_a^b g(t) \, dt} \,\, \mathrm{converge} \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( \displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt} \,\, \mathrm{converge} \right)$$
2) $$\left( \displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt} \,\, \mathrm{diverge} \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( \displaystyle{\int_a^b g(t) \, dt} \,\, \mathrm{diverge} \right)$$
3) Si $$f \underset{a}{\sim} g$$ alors les deux intégrales $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ et $$\displaystyle{\int_a^b g(t) \, dt}$$ sont de même nature.
ATTENTION : Les réciproques des trois assertions précédentes sont strictement fausses.
Dans le cas ou $$f$$ est négative sur l'intervalle réel $$]a \,;\,b]$$ on étudie alors, sur ce même intervalle réel, la fonction opposée, à savoir la fonction $$-f$$.
$${\color{green}{\blacktriangleright \blacktriangleright \,\, \textbf{Cas des fonctions de signe non constant : convergence absolue}}}$$
Si $$f$$ est une fonction numérique réelle univariée qui est localement intégrable sur l'intervalle réel $$]a \,;\,b]$$, avec $$a<b$$, alors il en est de même pour sa valeur absolue $$|f|$$.
On a alors :
$$\left( \displaystyle{\int_a^b |f(t)| \, dt} \,\, \mathrm{converge} \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( \displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt} \,\, \mathrm{converge} \right)$$
ATTENTION : La réciproque est fausse alors qu'elle est vraie pour l'intégrale définie.
Lorsque l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b |f(t)| \, dt}$$ est convergente, on dit alors que l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^b f(t) \, dt}$$ est absolument convergente.
On a donc la propriété suivante :
$${\color{red}{\textit{toute intégrale absolument convergente est convergente.}}}$$
$${\color{red}{\blacktriangleright \blacktriangleright \,\, \textbf{Cas d'une fonction définie sur un intervalle non borné}}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Définition}}}$$
Si $$f$$ une fonction numérique univariée qui est localement intégrable sur l'intervalle réel $$[a \,;\,+\infty[$$, alors on peut considérer, par analogie avec ce qui précède que :
$$\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(t) \, dt}$$ a pour signification $$\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow +\infty}}\displaystyle{\int_a^x f(t) \, dt}$$
On dit que $$f$$ est d'intégrale convergente sur l'intervalle $$[a \,;\,+\infty[$$ ou que l'intégrale $$\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(t) \, dt}$$ converge si la limite $$\displaystyle{\lim_{x \longrightarrow +\infty}}\displaystyle{\int_a^x f(t) \, dt}$$ existe. Sinon on dit que l'intégrale diverge.
Les intégrales de références sont :
$$\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t^\alpha} \, dt$$ est convergente si et seulement si $$\alpha > 1$$. C'est l'intégrale de $$\textit{Bernhard Riemann}$$.
$$\int_0^{+\infty} e^{-\alpha \, t} \, dt$$ est convergente si et seulement si $$\alpha > 0$$.
Il est alors possible de généraliser, et c'est ce qui va être expliqué ci-après.
De manière analogue, on définit l'intégrale $$\displaystyle{\int_{-\infty}^a f(t) \, dt}$$
Si $$f$$ est localement intégrable sur l'intervalle réel $$]a \,;\,+\infty[$$, non bornée au voisinage de $$a$$, on posera, en considérant un point $$c \in ]a \,;\,+\infty[$$ quelconque :
$$\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(t) \, dt} = \displaystyle{\int_a^c f(t) \, dt} + \displaystyle{\int_c^{+\infty} f(t) \, dt}$$
L'intégrale $$\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(t) \, dt}$$ est déclarée convergente si les deux intégrales $$\displaystyle{\int_a^c f(t) \, dt}$$ et $$\displaystyle{\int_c^{+\infty} f(t) \, dt}$$ sont simultanément convergentes. Elle sera déclarée divergente si l'une, au moins, des deux intégrales diverge. Le choix de $$c$$ est indifférent.
Enfin, si $$f$$ est localement intégrable sur l'intervalle $$]-\infty \,;\,+\infty[$$, on posera, en considérant un point $$c \in \mathbb{R}$$ quelconque :
$$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt} = \displaystyle{\int_{-\infty}^c f(t) \, dt} + \displaystyle{\int_c^{+\infty} f(t) \, dt}$$
Ainsi nous sommes ramenés aux cas précédents. Dans ce cas, les règles de convergences sont les mêmes que celles de la situation précédente.
REMARQUE : Une intégrale impropre $$\displaystyle{\int_{a}^{b} f(t) \, dt}$$ est dite semi-convergente si l'intégrale converge mais ne converge pas absolument. Ainsi l'intégrale $$\displaystyle{\int_{a}^{b} f(t) \, dt}$$ est convergente mais l'intégrale $$\displaystyle{\int_{a}^{b} |f(t)| \, dt}$$ est divergente. Par exemple, l'intégrale $$\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \, dt}$$ est semi-convergente.
$${\color{red}{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,\, \textbf{Cas des intégrales de Bertrand}}}$$
$${\textit{Joseph Louis François Bertrand}}$$, mathématicien français, est né le 11 mars 1822 à Paris et y est mort le 3 avril 1900 à Paris. Il est à l'origine des résultats suivants :
1) L'intégrale $$\displaystyle{\int_{e}^{+\infty} \dfrac{1}{t^\alpha \ln^\beta(t)} \, dt}$$ converge uniquement dans les deux situations suivantes :
$$\,\,\,\,\,\, \clubsuit \,\,$$ si $$\alpha > 1$$ ;
$$\,\,\,\,\,\, \clubsuit \clubsuit \,\,$$ si $$\alpha = 1$$ et $$\beta > 1$$.
2) L'intégrale $$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{1}{e}} \dfrac{1}{t^\alpha \ln^\beta(t)} \, dt}$$ converge uniquement dans les deux situations suivantes :
$$\,\,\,\,\,\, \clubsuit \,\,$$ si $$\alpha < 1$$ ;
$$\,\,\,\,\,\, \clubsuit \clubsuit \,\,$$ si $$\alpha = 1$$ et $$\beta > 1$$.
Concernant le vocabulaire associée à la nature d'une intégrale généralisée, dite parfois impropre, on a :
Une intégrale est dite « impropre de première espèce » si au moins l’une de ses bornes est infinie.
Une intégrale est dite « impropre de deuxième espèce » si l’intégrande est non borné en au moins un point de l’intervalle d’intégration $$[a;b] \in \mathbb{R}^2$$.
Une intégrale est dite « impropre de troisième espèce » si elle est à la fois de première espèce et de deuxième espèce.