Sujet $$3$$ exotique - Exercice 2

Soit $$y \in \mathrm{Im} (u^2)$$, dans ce cas cela signifie qu'il existe $$x \in E$$ tel que $$y = u^2(x)$$. On peut alors écrire cette relation comme :
$$y = u^2(x) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = u(u(x)) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = u \left[u(x)\right]$$
Donc $$y \in \mathrm{Im} (u)$$ (associé à l'élément $$u(x) \in E$$ car $$u\in \mathcal{L}(E)$$). En conclusion :

Soit $$x \in \ker (u)$$, dans ce cas cela signifie que $$u(x)=0_E$$. Comme $$u$$ est une application linéaire, on peut alors écrire :
$$u^2(x)=u(u(x))=u(0_E)=0_E$$
Ainsi on en déduit que $$x \in \ker (u^2)$$. En conclusion :

$$\bf{\looparrowright \underline{ Étape \,\, 1 : sens \,\, direct}}$$
Commençons par démontrer que, sous l'hypothèse annoncée $$\mathrm{Im} (u) + \ker (u) = E$$, on a :
$$\mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2)$$
Nous savons déjà (d'après la première question) que $$\mathrm{Im} (u^2) \subset \mathrm{Im} (u)$$ ; donc démontrons maintenant que $$\mathrm{Im} (u^2) \supset \mathrm{Im} (u)$$.
Soit $$y \in \mathrm{Im} (u)$$, donc cela signifie qu'il existe $$x \in E$$ tel que $$y = u(x)$$. Choisissons $$x$$ tel que :
$$x = x_1 + x_2$$
avec $$x_1 \in \mathrm{Im} (u)$$ et $$x_2 \in \ker (u)$$. Ce choix se justifie car le sujet propose l'hypothèse annoncée $$\mathrm{Im} (u) + \ker (u) = E$$. Donc, par application sur $$x$$ de l'endomorphisme $$u$$, on a :
$$u(x) = u(x_1 + x_2) = u(x_1) + u(x_2) = u(x_1) + 0_E = u(x_1)$$
Comme $$y = u(x)$$ alors $$y = u(x_1)$$. Mais $$x_1 \in \mathrm{Im} (u) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \exists x'\in E, \,\, u(x') = x_1$$, ce qui implique :
$$y = u(x_1) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = u(u(x')) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = (u \circ u)(x') \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, y = u^2(x')$$
Donc $$y \in \mathrm{Im} (u^2)$$. On a donc bien $$\mathrm{Im} (u^2) \supset \mathrm{Im} (u)$$.
Ainsi, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} \mathrm{Im} (u^2) & \subset & \mathrm{Im} (u) \\ \mathrm{Im} (u^2) & \supset & \mathrm{Im} (u) \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u^2) = \mathrm{Im} (u)$$
En conclusion, on a :
$$\mathrm{Im} (u) + \ker (u) = E \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2)$$
$$\bf{\looparrowright \underline{ Étape \,\,2 : sens \,\, indirect}}$$
Il vas nous falloir maintenant démontrer l'autre sens de cette dernière relation, à savoir :
$$\mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u) + \ker (u) = E$$
Soit $$x\in E$$. Sous l'hypothèse $$\mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2)$$ il faut construire l'élément $$x(\in E) = x_1 + x_2$$ avec $$x_1 \in \mathrm{Im} (u)$$ et $$x_2 \in \ker (u)$$.
Soit $$u(x) \in \mathrm{Im} (u)$$. De plus, $$\mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2)$$, donc cela signifie
$$\exists x_0 \in E$$ tel que :

$$u(x) = u^2(x_0) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, u(x) - u^2(x_0) = 0_E$$
Soit encore $$u(x) = u(u(x_0))$$. Donc, naturellement, posons $$x_1 = u(x_0)$$ avec $$x_1 \in \mathrm{Im} (u)$$. De fait, posons donc $$x_2 = x - x_1$$. Ainsi, l'application de l'endomorphisme $$u$$ sur l'élément $$x_2$$ nous permet d'écrire que :
$$u(x_2) = u(x - x_1) = u(x) - u(x_1) = u(x) - u(u(x_0)) = u(x) - u^2(x_0) = 0_E$$
Donc $$x_2 \in \ker (u)$$.
Dès lors, comme $$x_2 = x - x_1$$ alors $$x = x_1 + x_2$$ avec $$x_1 \in \mathrm{Im} (u)$$ et $$x_2 \in \ker (u)$$.
Donc $$x \in \mathrm{Im} + \ker (u)$$. Or, $$x \in E$$ ce qui permet d'écrire que $$E = \mathrm{Im} + \ker (u)$$.
Ce qui induit l'implication suivante :
$$\mathrm{Im} (u) = \mathrm{Im} (u^2) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u) + \ker (u) = E$$
$$\bf{\leadsto \underline{CONCLUSION}}$$
L'$$\bf{\underline{Étape \,\, 1}}$$ et l'$$\bf{\underline{Étape \,\, 2}}$$ impliquent, ensembles, la relation suivante :

$$\bf{\looparrowright \underline{ Étape \,\, 1 : sens \,\, direct}}$$
Commençons par démontrer que, sous l'hypothèse annoncée $$\mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E$$, on a :
$$\ker (u) = \ker (u^2)$$
Nous savons déjà (d'après la deuxième question) que $$\ker (u) \subset \ker (u^2)$$ ; donc démontrons maintenant que $$\ker (u) \supset \ker (u^2)$$.
Soit $$x \in \ker (u^2)$$, donc cela signifie que $$u^2(x)= 0_E$$. On peut également écrire cela sous la forme $$u(u(x))= 0_E$$, ce qui implique que $$u(x) \in \ker (u)$$. Mais, par définition, $$u(x) \in \mathrm{Im} (u)$$, et de fait, on peut écrire que :
$$u(x) \in \ker (u) \cap \mathrm{Im} (u)$$
Donc, en faisant usage de l'hypothèse annoncée $$\mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E$$ on obtient alors :
$$u(x) = 0_E \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x \in \ker (u)$$
Or, par hypothèse $$x \in \ker (u^2)$$, et donc, on en déduit que $$\ker (u) \supset \ker (u^2)$$.
Ainsi, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} \ker (u) & \subset & \ker (u^2) \\ \ker (u) & \supset & \ker (u^2) \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \ker (u) = \ker (u^2)$$
En conclusion, on a :
$$\mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \ker (u) = \ker (u^2)$$
$$\bf{\looparrowright \underline{ Étape \,\, 2 : sens \,\, indirect}}$$
Il vas nous falloir maintenant démontrer l'autre sens de cette dernière relation, à savoir :
$$\ker (u) = \ker (u^2) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E$$
Soit $$x \in \mathrm{Im} (u) \cap \ker (u)$$. Donc de fait on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} x \in \ker (u) & \Longrightarrow & u(x) = 0_E \\ x \in \mathrm{Im} & \Longrightarrow & \exists x_0 \in E, \,\, x = u(x_0) \\ \end{array}<br />\right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, 0_E = u(x) = u(u(x_0)) = u^2(x_0)$$
Ainsi $$x_0 \in \ker(u^2)$$. Mais par hypothèse $$\ker (u) = \ker (u^2)$$ donc on en déduit que $$x_0 \in \ker(u)$$. Ceci vas encore s'écrire comme $$u(x_0) = 0_E \,\, \Longleftrightarrow \,\, x = 0_E$$. Or, nous avons posé initialement que $$x \in \mathrm{Im} (u) \cap \ker (u)$$, ce qui nous permet d'écrire que :
$$\mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E$$
Ce qui induit l'implication suivante :
$$\ker (u) = \ker (u^2) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \mathrm{Im} (u) \cap \ker (u) = 0_E$$
$$\bf{\leadsto \underline{CONCLUSION}}$$
L'$$\bf{\underline{Étape \,\, 1}}$$ et l'$$\bf{\underline{Étape \,\,2}}$$ impliquent, ensembles, la relation suivante :