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Représentation matricielle des applications linéaires - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit ff l’application linéaire définie par f:{R3⟶R2(x,y,z)⟼(x+y,x−z)f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^3 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y,x-z\right) \end{array}\right.
Écrire la matrice AA de ff relativement à la base canonique de R3{\mathbb{R}}^3 .

Correction
  • Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimension respective nn et pp . On note B=(e1,e2,⋯ ,en)B=\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une base de EE et B′=(e1′,e2′,⋯ ,ep′)B'=\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) une base de FF .
    On appelle matrice de ff dans les bases BB et B′B' et on note M(f,B,B′)M\left(f,B,B'\right) le tableau dont les colonnes sont les composantes des vecteurs (f(e1),f(e2),⋯ ,f(en))\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),\cdots ,f\left(e_n\right)\right) dans la base (e1′,e2′,⋯ ,ep′)\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) .
    Autrement dit :
    {f(e1)=a11e′1+a21e′2+⋯+ap1e′pf(e2)=a12e′1+a22e′2+⋯+ap2e′p⋮f(en)=a1ne′1+a2ne′2+⋯+apne′p⟺M(f,B,B′)=(a11⋯a1na21⋯a2n⋮⋯⋮ap1⋯apn)\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}f\left(e_1\right) & = & a_{11}{e'}_1+a_{21}{e'}_2+\cdots +a_{p1}{e'}_p \\ f\left(e_2\right) & = & a_{12}{e'}_1+a_{22}{e'}_2+\cdots +a_{p2}{e'}_p \\ & \vdots & \end{array} \\ \begin{array}{ccc}f\left(e_n\right) & = & a_{1n}{e'}_1+a_{2n}{e'}_2+\cdots +a_{pn}{e'}_p \end{array} \end{array}\right. \Longleftrightarrow M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}a_{11} &\cdots & a_{1n} \\a_{21} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{p1} & \cdots & a_{pn} \end{array}\right) .
Soient E=R3E={\mathbb{R}}^3 et F=R2F={\mathbb{R}}^2
On note B=(e1,e2,e3)B=\left(e_1,e_2,e_3\right) une base de R3{\mathbb{R}}^3 avec e1=(1,0,0) e_1=\left(1,0,0\right)~; e2=(0,1,0); e3=(0,0,1)e_2=\left(0,1,0\right);\ e_3=\left(0,0,1\right)
On note B′=(e′1,e′2)B'=\left({e'}_1,{e'}_2\right) une base de R2{\mathbb{R}}^2 avec e′1=(1,0) {e'}_1=\left(1,0\right)~; e′2=(0,1){e'}_2=\left(0,1\right)
On a :
{f(e1)=f(1,0,0)f(e2)=f(0,1,0)f(e3)=f(0,0,1)===(1,1)(1,0)(0,−1)===1e′1+1e′21e′1+0e′20e′1−1e′2\left\{ \begin{array}{ccc}f\left(e_1\right) & = & f\left(1,0,0\right) \\ f\left(e_2\right) & = & f\left(0,1,0\right) \\ f\left(e_3\right) & = & f\left(0,0,1\right) \end{array}\right. \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}\left(1,1\right) \\ \left(1,0\right) \\ \left(0,-1\right) \end{array} \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}\red{1}{e'}_1+\red{1}{e'}_2 \\ \purple{1}{e'}_1+\purple{0}{e'}_2 \\ \pink{0}{e'}_1\pink{-1}{e'}_2 \end{array}
Ainsi :
A=M(f,B,B′)=(11010−1)A=M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}\red{1} & \purple{1} & \pink{0} \\ \red{1} & \purple{0} & \pink{-1} \end{array}\right)
Question 2

Soit ff l’application linéaire définie par f:{R2[X]⟶R2[X]P⟼P+P′f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}_2\left[X\right] & \longrightarrow & {\mathbb{R}}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & P+P' \end{array}\right.
Écrire la matrice AA de ff relativement à la base canonique de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right] notée (1,X,X2)\left(1,X,X^2\right) .

Correction
  • Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimension respective nn et pp . On note B=(e1,e2,⋯ ,en)B=\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une base de EE et B′=(e1′,e2′,⋯ ,ep′)B'=\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) une base de FF .
    On appelle matrice de ff dans les bases BB et B′B' et on note M(f,B,B′)M\left(f,B,B'\right) le tableau dont les colonnes sont les composantes des vecteurs (f(e1),f(e2),⋯ ,f(en))\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),\cdots ,f\left(e_n\right)\right) dans la base (e1′,e2′,⋯ ,ep′)\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) .
    Autrement dit :
    {f(e1)=a11e′1+a21e′2+⋯+ap1e′pf(e2)=a12e′1+a22e′2+⋯+ap2e′p⋮f(en)=a1ne′1+a2ne′2+⋯+apne′p⟺M(f,B,B′)=(a11⋯a1na21⋯a2n⋮⋯⋮ap1⋯apn)\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}f\left(e_1\right) & = & a_{11}{e'}_1+a_{21}{e'}_2+\cdots +a_{p1}{e'}_p \\ f\left(e_2\right) & = & a_{12}{e'}_1+a_{22}{e'}_2+\cdots +a_{p2}{e'}_p \\ & \vdots & \end{array} \\ \begin{array}{ccc}f\left(e_n\right) & = & a_{1n}{e'}_1+a_{2n}{e'}_2+\cdots +a_{pn}{e'}_p \end{array} \end{array}\right. \Longleftrightarrow M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}a_{11} &\cdots & a_{1n} \\a_{21} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{p1} & \cdots & a_{pn} \end{array}\right) .
Soient E=R2[X]E={\mathbb{R}}_2\left[X\right] et F=R2[X]F={\mathbb{R}}_2\left[X\right]
On note B=(1,X,X2)B=\left(1,X,X^2\right) une base de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right]
On note B′=(1,X,X2)B'=\left(1,X,X^2\right) une base de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right]
On a :
{f(1)=1+(1)′f(X)=X+(X)′f(X2)=X2+(X2)′===11+X2X+X2===1⋅1+0X+0X21⋅1+1X+0X20⋅1+2X+1X2\left\{ \begin{array}{ccc}f\left(1\right) & = & 1+\left(1\right)' \\ f\left(X\right) & = & X+\left(X\right)' \\ f\left(X^2\right) & = & X^2+\left(X^2\right)' \end{array}\right. \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}1\\ 1+X \\ 2X+X^2 \end{array} \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}\red{1}\cdot1+\red{0}X+\red{0}X^2\\\purple{1}\cdot1+\purple{1}X+ \purple{0}X^2\\ \pink{0}\cdot1+\pink{2}X+\pink{1}X^2 \end{array}
Ainsi :
A=M(f,B,B′)=(110012011)A=M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}\red{1} & \purple{1} & \pink{0} \\ \red{0} & \purple{1} & \pink{2}\\ \red{0} & \purple{\purple{1}} & \pink{1} \end{array}\right)
Question 3

Soit ff l’application linéaire définie par f:{R2[X]⟶R4[X]P⟼X2P−XP′+X2P′′f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}_2\left[X\right] & \longrightarrow & {\mathbb{R}}_4\left[X\right] \\ P & \longmapsto & X^2P-XP'+X^2P'' \end{array}\right.
Écrire la matrice AA de ff relativement à la base canonique de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right] notée (1,X,X2)\left(1,X,X^2\right) et à la base de R4[X]{\mathbb{R}}_4\left[X\right] notée (X4,X3,X2,X,1)\left(X^4,X^3,X^2,X,1\right).

Correction
  • Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimension respective nn et pp . On note B=(e1,e2,⋯ ,en)B=\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une base de EE et B′=(e1′,e2′,⋯ ,ep′)B'=\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) une base de FF .
    On appelle matrice de ff dans les bases BB et B′B' et on note M(f,B,B′)M\left(f,B,B'\right) le tableau dont les colonnes sont les composantes des vecteurs (f(e1),f(e2),⋯ ,f(en))\left(f\left(e_1\right),f\left(e_2\right),\cdots ,f\left(e_n\right)\right) dans la base (e1′,e2′,⋯ ,ep′)\left(e'_1,e'_2,\cdots ,e'_p\right) .
    Autrement dit :
    {f(e1)=a11e′1+a21e′2+⋯+ap1e′pf(e2)=a12e′1+a22e′2+⋯+ap2e′p⋮f(en)=a1ne′1+a2ne′2+⋯+apne′p⟺M(f,B,B′)=(a11⋯a1na21⋯a2n⋮⋯⋮ap1⋯apn)\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{ccc}f\left(e_1\right) & = & a_{11}{e'}_1+a_{21}{e'}_2+\cdots +a_{p1}{e'}_p \\ f\left(e_2\right) & = & a_{12}{e'}_1+a_{22}{e'}_2+\cdots +a_{p2}{e'}_p \\ & \vdots & \end{array} \\ \begin{array}{ccc}f\left(e_n\right) & = & a_{1n}{e'}_1+a_{2n}{e'}_2+\cdots +a_{pn}{e'}_p \end{array} \end{array}\right. \Longleftrightarrow M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}a_{11} &\cdots & a_{1n} \\a_{21} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{p1} & \cdots & a_{pn} \end{array}\right) .
Soient E=R2[X]E={\mathbb{R}}_2\left[X\right] et F=R4[X]F={\mathbb{R}}_4\left[X\right]
On note B=(1,X,X2)B=\left(1,X,X^2\right) une base de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right]
On note B′=(X4,X3,X2,X,1)B'=\left(X^4,X^3,X^2,X,1\right) une base de R4[X]{\mathbb{R}}_4\left[X\right]
On a :
{f(1)=X2×1−X×(1)′+X2×(1)′′f(X)=X2×X−X×(X)′+X2×(X)′′f(X2)=X2×X2−X×(X2)′+X2×(X2)′′===X2X3−XX4−2X2+2X2===0X4+0X3+1X2+0X+0⋅10X4+1X3+0X2−1X+0⋅11X4+0X3+0X2+0X+0⋅1\left\{ \begin{array}{ccc}f\left(1\right) & = & X^2 \times1-X\times\left(1\right)'+X^2\times\left(1\right)'' \\ f\left(X\right) & = & X^2 \times X-X\times\left(X\right)'+X^2\times\left(X\right)''\\ f\left(X^2\right) & = & X^2 \times X^2-X\times\left(X^2\right)'+X^2\times\left(X^2\right)'' \end{array}\right. \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}X^2\\ X^3-X \\ X^4-2X^2+2X^2 \end{array} \begin{array}{c}= \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c}\red{0}X^4+\red{0}X^3+\red{1}X^2+\red{0}X+\red{0}\cdot1\\ \purple{0}X^4+\purple{1}X^3+\purple{0}X^2\purple{-1}X+\purple{0}\cdot1\\ \pink{1}X^4+\pink{0}X^3+\pink{0}X^2+\pink{0}X+\pink{0}\cdot1 \end{array}
Ainsi :
A=M(f,B,B′)=(0010101000−10000)A=M\left(f,B,B'\right)=\left( \begin{array}{ccc}\red{0} & \purple{0} & \pink{1} \\ \red{0} & \purple{1} & \pink{0} \\ \red{1} & \purple{0} & \pink{0} \\ \red{0} & \purple{-1} & \pink{0} \\ \red{0} & \purple{0} & \pink{0} \end{array}\right)

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